Ъх, изпъкнал четириъгълник

[Гост]

Диагоналите на изпъкналия четириъгълник ABCD се пресичат във точка О.Докажете, че около ABCD може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато OA.OC = OB.OD
Бих била много благодарна за помощ по тази задача.

[Knowledge Greedy]

[tex]\Rightarrow[/tex]
Ако ABCD е вписан в окръжност, то от свойството на пресичащите се хорди [tex]\Rightarrow AO.OC=BO.OD[/tex]
[tex]\Leftarrow[/tex]

4 кo - точки.PNG (4.29 KiB) Прегледано 1889 пъти

Нека е изпълнено [tex]AO.OC=BO.OD[/tex]
Явно има поне една двойка подобни триъгълници (по втори признак)
I сл. [tex]\Delta ABO \sim \Delta DCO[/tex] [tex]\left\{\begin{matrix}
A\rightarrow D\\
B\rightarrow C\\
O\rightarrow O
\end{matrix}\right.[/tex]
Тогава [tex]\angle OAB= \angle ODC[/tex], [tex]BC[/tex] се вижда под един и същи ъгъл от [tex]A[/tex] и [tex]D[/tex], следователно четирите точки са на една окръжност.
II сл. [tex]\Delta ABO \sim \Delta CDO[/tex] [tex]\left\{\begin{matrix}
A\rightarrow C\\
B\rightarrow D\\
O\rightarrow O
\end{matrix}\right.[/tex]
Тогава [tex]\angle OAB= \angle OCD[/tex][tex]\Rightarrow AB||DC[/tex] [tex](\ast)[/tex]
(При пресичане на две прави с трета (AC) при равенството на вътрешнокръстните ъгли следва успоредност).
Едновременно с това [tex]\angle OAD= \angle OBC[/tex][tex]\Rightarrow AD||BC[/tex] [tex](\ast \ast)[/tex]
(Ако при подобието на втората двойка [tex]\Delta AOD[/tex] и [tex]\Delta BOC[/tex] възникне отново I сл. - всичко е ясно.)
От [tex](\ast)[/tex] и [tex](\ast \ast)[/tex] следва, че четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е успоредник. Но диагоналите на успоредника взаимно се разполовяват, сл. [tex]AO=OC[/tex] и [tex]BO=OD[/tex]. Тогава условието [tex]AO.OC=BO.OD[/tex] вече изглежда така [tex]AO^2=BO^2[/tex]. Оттук - точката [tex]O[/tex] е на равни разстояния от върховете на четириъгълника - т.к.т.д. (това, което трябваше да докажем - четириъгълникът е вписан)

[inveidar]

Не можах да разбера за какво са тези случаи?

[Knowledge Greedy]

А как ще се получи без случаи? Логиката на описанието което дадох, естествено ги налага.

[inveidar]

[tex]AO.OC=BO.OD\Leftrightarrow \frac{AO}{OD }=\frac{BO}{OC }[/tex], което заедно с равенството на връхните ъгли AOB и COD ни дава подобността на триъгълниците ABO и DCO. От това пък следва, че ъглите срещу АО и ОD са равни(това са ъглите срещу съответните страни от пропорцията!). Следователно ВС се вижда под един и същи ъгъл от А и D и те са в една полуравнина относно ВС. Това е.
Вторият ти случай е неизпълним и не трябва да се разглежда, защото трябва да изходиш от даденото по условие равенство. При втория ти случай AO->CO и BO->DO, т.е ще бъде изпълнено [tex]\frac{AO}{BO }=\frac{CO}{DO }\Leftrightarrow AO.DO=BO.CO[/tex], което не е дадено по условие!

[kmitov]

Какво стана най-накрая? Има ли случаи или нема?

[inveidar]

Е па нема!

[Knowledge Greedy]

При наличието дори само на една възможност, а такава се получава при успоредника правоъгълник - II-ри случай по принцип съществува.
А що се отнася до търсенето на подобие (като комбинаторно съответствие на върховете на двата триъгълника), също сме абсолютно задължени да го направим.
Като описание на решението приемам, че няма нужда да бъде така описвано, както го направих аз и приемам гледната точка на Инвейдър..