Вписан правоъгълник с даден периметър в триъгълник

[Гост]

1.Даден е триъгълник с основа 12 см и височина 9 см. В него е вписан правоъгълник с периметър 22см, основата на който лежи на основата на триъглник. Намерете страните на правоъгълника.
4 зад. Даден е триъгълник с основа 18 см и височина към нея 9 см. В него е вписан квадрат, основата на който лежи на основата на триъгълника. Намерете страната на квадрата.

[Knowledge Greedy]

Нека правоъгълникът е [tex]MNPQ[/tex] като
[tex]M\in AB[/tex] , [tex]N\in AB[/tex], [tex]P\in BC[/tex] и [tex]N\in AC[/tex].
Явно по първи признак за подобност [tex]\Delta QPC \sim \Delta ABC[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Ако означим с [tex]x[/tex] дължината на основата [tex]MN[/tex] на правоъгълника, а с [tex]y[/tex]дължината на неговата височина [tex]PQ[/tex] и още [tex]h[/tex] височината на [tex]\Delta ABC[/tex], а дължината на основата да е [tex]c[/tex].
От подобието [tex](\ast)[/tex] непосредствено следва [tex]\frac{h-y}{h } =\frac{x}{c }[/tex]
В условието е даден периметърът [tex]2p[/tex] на правоъгълника [tex]MNPQ[/tex], значи [tex]x+y=p[/tex].
Получената система дава [tex]x=\frac{c(p-h)}{c-h}[/tex] и [tex]y=\frac{h(c-p)}{c-h }[/tex].
Изследване. Тъй като [tex]x>0[/tex] и [tex]y>0[/tex], то трябва да са изпълнени условията:
или [tex]c>p>h[/tex], или [tex]c<p<h[/tex].

правоъгълник с даден периметър вписан в триъгълник.PNG (3.77 KiB) Прегледано 2174 пъти

-------------------------------
В конкретния случай, при дадените [tex]c=12, h=9[/tex] и [tex]P=22[/tex], за страните на правоъгълника следва
[tex]\left| \begin{matrix}
x=8\\
y=3
\end{matrix}\right[/tex]

[Гост]

Нека правоъгълникът е [tex]MNPQ[/tex] като
[tex]M\in AB[/tex] , [tex]N\in AB[/tex], [tex]P\in BC[/tex] и [tex]N\in AC[/tex].
Явно по първи признак за подобност [tex]\Delta QPC \sim \Delta ABC[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Ако означим с [tex]x[/tex] дължината на основата [tex]MN[/tex] на правоъгълника, а с [tex]y[/tex]дължината на неговата височина [tex]PQ[/tex] и още [tex]h[/tex] височината на [tex]\Delta ABC[/tex], а дължината на основата да е [tex]c[/tex].
От подобието [tex](\ast)[/tex] непосредствено следва [tex]\frac{h-y}{h } =\frac{x}{c }[/tex]
В условието е даден периметърът [tex]2p[/tex] на правоъгълника [tex]MNPQ[/tex], значи [tex]x+y=p[/tex].
Получената система дава [tex]x=\frac{c(p-h)}{c-h}[/tex] и [tex]y=\frac{h(c-p)}{c-h }[/tex].
Изследване. Тъй като [tex]x>0[/tex] и [tex]y>0[/tex], то трябва да са изпълнени условията:
или [tex]c>p>h[/tex], или [tex]c<p<h[/tex].

правоъгълник с даден периметър вписан в триъгълник.PNG

-------------------------------
В конкретния случай, при дадените [tex]c=12, h=9[/tex] и [tex]P=22[/tex], за страните на правоъгълника следва
[tex]\left| \begin{matrix}
x=8\\
y=3
\end{matrix}\right[/tex]

А при пропорцията защо е h-y а не h-x ?