Вектори

[Гост]

Точките А1,B1,C1, лежат съответно на страните BC,CA,AB на ▲ABC, като BA1:A1C=CB1:B1A=AC1:C1B=k≠0. Да се докаже, че медицентровете на ▲ABC и ▲A1B1C1 съвпадат.

[kmitov]

km.png (29.86 KiB) Прегледано 208 пъти

Нека означим с G и G1, медицентровете на триъгълниците ABC и А1B1C1, съответно.

Знаем, че [tex]\vec{CG}=\frac{1}{3}(\vec{CA}+\vec{CB})[/tex] и [tex]\vec{B_1G_1}=\frac{1}{3}(\vec{B_1A_1}+\vec{B_1C_1})[/tex]

Ще докажем че [tex]\vec{CG}=\vec{CG_1}[/tex]

Имаме, че
[tex]\vec{CG_1}=\vec{CB_1}+\vec{B_1G_1}=\vec{CB_1}+\frac{1}{3}(\vec{B_1A_1}+\vec{B_1C_1})[/tex]

Oт условието и правилата за действия с вектори намираме, че
[tex]\vec{B_1C_1}=\vec{B_1A}+\vec{AC_1}=\frac{1}{k+1}\vec{CA}+\frac{k}{k+1}\vec{AB}[/tex]

[tex]\vec{B_1A_1}=\vec{CA_1}-\vec{CB_1}=\frac{1}{k+1}\vec{CB}-\frac{k}{k+1}\vec{CA}[/tex]

Така


[tex]\vec{B_1G_1}=\frac{1}{3}(\vec{B_1A_1}+\vec{B_1C_1})=\frac{1}{3(k+1})\vec{CA}+\frac{k}{3(k+1)}\vec{AB}+\frac{1}{3(k+1)}\vec{CB}-\frac{k}{3(k+1)}\vec{CA}[/tex]


и

[tex]\vec{CB_1}=\frac{k}{k+1}\vec{CA}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA}[/tex]

Получаваме

[tex]\vec{CG_1}=\frac{k}{k+1}\vec{CA}+\frac{1}{3(k+1})\vec{CA}+\frac{k}{3(k+1)}\vec{CB}-\frac{k}{3(k+1)}\vec{CA}+\frac{1}{3(k+1)}\vec{CB}-\frac{k}{3(k+1)}\vec{CA}[/tex]

[tex]\vec{CG_1}=\vec{CA}\left(\frac{k}{k+1}+\frac{1}{3(k+1})-\frac{k}{3(k+1)}-\frac{k}{3(k+1)}\right)+\vec{CB}\left(\frac{k}{3(k+1)}+\frac{1}{3(k+1)}\right)[/tex]

Като се съберат дробите се получава
[tex]\vec{CG_1}=\frac{1}{3}(\vec{CA}+\vec{CB})=\vec{CG}[/tex]