Теорема на Щайнер

[blue_flower]

Здравейте! Може ли някой да обясни доказателството на теоремата на Щайнер с хомотетия ?

[Knowledge Greedy]

Трапец [tex]ABCD[/tex] има пресечна точка на диагоналите [tex]O[/tex] и пресечна точка [tex]W[/tex] на продълженията на бедрата. Нека още точката [tex]M[/tex] е средата на основата [tex]CD[/tex], а точката [tex]N[/tex] е средата на основата [tex]AB[/tex].

1. Да разгледаме хомотетията [tex]H(W, D \rightarrow A)[/tex].
Поради [tex]W\in CB[/tex] и [tex]DC||AB[/tex], следва [tex]D \overset{H}{\rightarrow} A[/tex]
Така [tex]DC \overset{H}{\rightarrow} AB[/tex]

и още [tex]M \overset{H}{\rightarrow} N[/tex] (като среди на съответните при хомотетията отсечки)
Но това означава още, че тези две точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex], заедно с центъра на хомотетия [tex]W[/tex] са на една права[tex]^{(\ast)}[/tex] - [tex]W\in MN[/tex].

2. Да разгледаме хомотетията [tex]h(O, D \rightarrow B)[/tex].
Поради [tex]O\in DB[/tex] и [tex]CD||AB[/tex], следва [tex]C \overset{h}{\rightarrow} A[/tex]
Така [tex]CD \overset{h}{\rightarrow} AB[/tex]

и още [tex]M \overset{h}{\rightarrow} N[/tex] (като среди на съответните при хомотетията [tex]h[/tex] отсечки [tex]DC[/tex] и [tex]AB[/tex] )
А това означава още, че тези две точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex], заедно с центъра [tex]O[/tex] на хомотетията [tex]h[/tex] са на една права - [tex]O\in MN[/tex].

Така доказахме, че четирите точки [tex]N, O, W[/tex] и [tex]M[/tex] лежат на една права - твърдението на Щайнер.

Забележки.
1. И двете хомотетии са с равни по модул коефициенти [tex]|k_1|=|k_2|=\frac{AB}{CD }[/tex]
2. Задаването на хомотетия с център [tex]W[/tex] и двойка съответни точки [tex]D \rightarrow A[/tex] е равносилно на векторното [tex]\vec{WA} = k_1\vec{ WD}[/tex],
респективно втората хомотетия [tex]h[/tex] има [tex]\vec{OB} = k_2\vec{ OD}[/tex]
3. Фактът [tex]^{(\ast)}[/tex] просто се обяснява и с първото векторно равенство по-горе.

[blue_flower]

Благодаря!