Дефиниционното множество на израза

[Гост]

Намерих отговора, че е [-1;0)[tex]\cup[/tex] (2; ∞ ) , но ми трябва самото решение и стъпките, с които се решава.
Не знам дори от какъв вид е израза, но..
[tex]\frac{\sqrt{x^3+1}}{\sqrt{x^2-2x} }[/tex]
Да се намери ДМ

[Добромир Глухаров]

Изразът е дроб с числител и знаменател квадратни корени. За да съществува (да можем да намерим стойността му), трябва изразът под корена в числителя да е неотрицателен ([tex]x^3+1\ge 0[/tex]), а изразът под корена в знаменателя да е неотрицателен (за да съществува корена) и различен от нула (за да нямаме нула в знаменател), тоест да бъде положителен ([tex]x^2-2x>0[/tex]). Така получаваме системата: [tex]\begin{array}{|l}x^3+1\ge 0\\x^2-2x>0\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l}(x+1)(x^2-x+1)\ge 0(D=(-1)^2-4.1.1=-3<0)\\x(x-2)>0\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x+1\ge 0\\x(x-2)>0\end{array}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\begin{array}{|l}x\ge -1\\x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x\in [-1;+\infty)\\x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)\end{array}\Leftrightarrow x\in[-1;0)\cup(2;+\infty)[/tex]

За израза [tex]x^2-x+1[/tex] от [tex]D=-3<0[/tex] следва, че [tex]x^2-x+1>0[/tex] за всяко [tex]x[/tex], следователно можем да разделим двете страни на неравенството на [tex]x^2-x+1[/tex], без да променим множеството на решенията му.