2 задачи за помощ

[Венци]

Моля помогнете за решаването на следните задачи:
1. В правоъгълния триъгълник ABC е построена височина CD към хипотенузата. Да се докаже:
А) Ако М r N са съответно средите на BD и CD то AN е перпендикулярна на CM
Б) ако АЕ и CF са ъглополовящи съответно на триъгълник ADC и CDB то EF е успоредна на BC

2. В триъгълник DBC със страни a, b и c отсечката MN успоредна на АВ ( М лежи на АС, N лежи на ВС) се допира до вписана в триъгълника окръжност в точка Т. Да се намерят дължините на отсечките МТ и NT.

[martin123456]

1 a)
[tex]\Delta ADC \sim \Delta CDB[/tex] => [tex]\Delta ADN \sim \Delta CDM[/tex] => [tex]\angle NAD = \angle DCM[/tex]. Нека [tex]AN \cap CM=T[/tex]=>[tex]\angle NTC = 180^\circ - \angle CNT - \angle NCT = 180^\circ - \angle AND - \angle NCT =[/tex][tex]180^\circ - 90^\circ + \angle NAD - \angle NCT=90^\circ[/tex]
1 b)
от св-то на ъглополовящата: [tex]\frac{ED}{EC}=\frac{AD}{AC}[/tex] и [tex]\frac{DF}{FB}=\frac{CD}{CB}[/tex]. Искаме да док че левите страни на тези равенства са равни. Значи достат е да док, че десните са, т.е [tex]\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{CB}[/tex]. Но това следва от [tex]\Delta ADC \sim \Delta CDB[/tex].

[martin123456]

2
нека [tex]MT=x[/tex], [tex]TN=y[/tex], радиус вписана е [tex]r[/tex].
От [tex]\Delta MNC \sim \Delta ABC[/tex] => [tex]MC = \frac{b(x+y)}{c}[/tex], [tex]CN=\frac{a(x+y)}{c}[/tex].
[tex]\angle BAC + \angle AMN = 180^\circ[/tex], имайки предвид че [tex]AO, MO[/tex] са ъглополовящи => [tex]\angle OAM + \angle AMO = 90^\circ[/tex]=>[tex]AO \bot MO[/tex]. От [tex]OH_1 \bot AM[/tex] се вижда лесно че [tex]\angle OAH_1 = \angle H_1OM[/tex]=>[tex]\Delta AOH_1 \sim \Delta OMH_1[/tex]. Значи [tex]AH_1=\frac{r^2}{x}[/tex].
Аналогично [tex]BH_2=\frac{r^2}{y}[/tex].
Като съберем отсечките по страните на триъгълника получаваме следните 3 уравнения.
[tex]\frac{r^2}{x}+x+\frac{b(x+y)}{c}=b[/tex]
[tex]\frac{r^2}{y}+y+\frac{a(x+y)}{c}=a[/tex]
[tex]c = \frac{r^2}{x}+\frac{r^2}{y}[/tex].
Събираме първите 2 и заместваме от третото и следва [tex](x+y)(1+\frac{b}{c}+\frac{a}{c})=a+b-c[/tex] =>[tex]x+y[/tex]. Сега като знаем това, заместваме в първото и следва квадратно уравнение за [tex]x[/tex].