Две по-трудни задачи за метрични зависимости в окръжно

[strangerforever]

Първо, задачите може да са много лесни, пиша така защото (1) са от В група в сборника на К. Коларов и (2) за мен са си трудни.

1. Дадена е окръжност с диаметър AB=2r. През точка А е построена допирателна към окръжността, върху която е нанесена отсечка по-голяма от r, до точка M. От точка M е построена допирателна, която пресича продължението на AB в точка P. Да се намерят страните на [tex]\Delta[/tex] [tex]APM[/tex], ако се знае, че периметърът му е 8r.

Отг.: [tex]\frac{8}{3 }[/tex]r, 2r, [tex]\frac{10}{3 }[/tex]r.

2. Окръжност се допира до катетите на правоъгълен триъгълник и до описаната около него окръжност. Да се докаже, че радиусът на тази окръжност е два пъти по-голям от радиуса на окръжността, вписана в триъгълника.

Благодаря предварително.

[martin123456]

2
нека радиусът на малката окръжност е [tex]r[/tex].
тъй като окръжността се допира до катетите значи тя лежи на ъглополовящата на [tex]\angle C[/tex].
от пресичащи се хорди: [tex]TI.IH=CI.IM[/tex], [tex]r(2R-r)=\sqrt{2}r.IM[/tex]
остава да намерим [tex]IM[/tex]: [tex]IM=CM-CI=CM-\sqrt{2}r[/tex], оства да намерим [tex]CM[/tex].
забелязваме че [tex]\Delta ACL \sim \Delta MCB[/tex], понеже имат по ъгъл [tex]45^\circ[/tex] и [tex]\angle CAL=\angle CMB[/tex]. значи [tex]MC.CL=ab[/tex]. Знаем че [tex]CL=\frac{2ab}{\sqrt{2}(a+b)}[/tex]. Получаваме след заместване в изходното равенство: [tex]2R+r=a+b[/tex].

нека радиусът на вписаната окръжност пак е [tex]r[/tex]. полагаме [tex]a+b=u[/tex], [tex]ab=v[/tex]. имаме [tex]a^2+b^2=4R^2[/tex], [tex]u^2-2v=4R^2[/tex], [tex]2v=(u-2R)(u+2R)[/tex]. от друга страна [tex]ab=(a+b+2R)r[/tex], т.е. [tex]v=(u+2R)r[/tex]. заместваме това в 1вото: [tex]2r(u+2R)=(u+2R)(u-2R)[/tex], [tex]2R+2r=a+b[/tex].

оттук като извадим първото и 2рото следва ок

[martin123456]

1
[tex]OT \bot MP[/tex], [tex]\angle P[/tex] общ и значи [tex]\Delta OTP \sim \Delta MAP[/tex]. Получаваме следните зависимости:
(1) [tex]\frac{r}{x}=\frac{TP}{2r+BP}[/tex], (2) [tex]\frac{r}{x}=\frac{r+BP}{x+TP}[/tex], (3) [tex]\frac{TP}{2r+BP}=\frac{r+BP}{x+TP}[/tex].

от св-во на допирателна и секуща пък имаме (4) [tex]BP(BP+2r)=TP^2[/tex].

от (3): [tex]xTP+TP^2=2r^2+3r.BP+BP^2[/tex]. от (4) [tex]BP^2+2r.BP=TP^2[/tex]. значи [tex]xTP+TP^2=2r^2+3r.BP+TP^2-2r.BP[/tex], [tex]xTP=2r^2+r.BP[/tex]
от (2): [tex]rx+rTP=rx+xBP[/tex]=>[tex]rTP=xBP[/tex]=>[tex]TP=\frac{xBP}{r}[/tex]. заместваме в последното: [tex]\frac{x^2BP}{r}=2r^2+r.BP[/tex], [tex]BP(\frac{x^2}{r}-r)=2r^2[/tex], [tex]BP=\frac{2r^3}{x^2-r^2}[/tex], [tex]TP=\frac{2r^2x}{x^2-r^2}[/tex]

заместваме в периметъра: [tex]2x^3+2r^3=6x^2-6r^3[/tex], [tex](x+r)(x^2-xt+t^2)=3r(x+r)(x-r)[/tex], [tex](x-2r)^2=0[/tex], [tex]x=2r[/tex]. оттам следват.

[ins-]

Задача 2 е Сангаку теорема

[scarlet]

как намерихте на 2ра задачА че CI= ?2 r

[Евва]

1 зад. Използвам само и единствено подобието на [tex]\triangle[/tex]ОРТ и [tex]\triangle[/tex]АРМ .
Решението става доста по-изчистено .
Кандидат-студентите могат да се пробват .

[Евва]

Според дадения чертеж да означим АМ=х ,ВР=у ,АО=r .
[tex]\triangle[/tex]ОРТ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]АРМ ( 1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ОТ}{АМ}[/tex]=[tex]\frac{ОР}{РМ}[/tex]=[tex]\frac{Р_{ОРТ }}{Р_{АРМ }}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{r}{x} = \frac{r+y}{6r-y-x} \\ \frac{r}{x} = \frac{8r-2x}{8r}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 6r^{2}-ry-rx = rx+xy \\ x = 2r \end{array}[/tex]

6[tex]r^{2}[/tex]-r.2r-r.2r=(r+2r)y [tex]\Leftrightarrow[/tex] y=[tex]\frac{2r}{3}[/tex] , тогава

AP=2r+y=2r+[tex]\frac{2r}{3}[/tex]=[tex]\frac{8r}{3}[/tex]

PM=[tex]P_{APM }[/tex]-AP-AM=8r-[tex]\frac{8r}{3}[/tex]-2r=[tex]\frac{10r}{3}[/tex]