Хомотетия, подобни триъгълници

[kc2yzl]

Имаме триъгълник АВС. Ъгъл А = 2 пъти ъгъл В.
ВС=а, АС=b. АВ=?

Вече втори ден се опитвам да се преборя с тази задача. Моля за малко помощ, как се решават подобни задачи?

[monika_at]

Построява се ъглополовящата на двойно по-големия ъгъл. Нека това е [tex]AL; L\in BC[/tex]=>

[tex]AL=LB=x=>CL=a-x[/tex]

Имаме подобни триъгълници: [tex]\Delta ACL; \Delta BCA[/tex]=>

[tex]\frac{AC}{BC } =\frac{CL}{CA } =\frac{AL}{BA } =>\frac{b}{a } =\frac{a-x}{b } =\frac{x}{c }[/tex]

Така при известни [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] се намира [tex]c[/tex]

[ptj]

Тази задача има и друго решение без допълнителни построения, но материла не е за 9 клас.

[tex]\alpha =2\beta[/tex] , [tex]\gamma =180^\circ -\alpha -\beta =180^\circ -3\beta[/tex]

[tex]sin(\gamma ) =sin(180^\circ -3\beta )=sin(3\beta )=3sin(\beta )-4sin^3(\beta )[/tex]

[tex]\frac{b}{sin(\beta ) }=\frac{a}{sin(\alpha) }=\frac{a}{sin(2\beta ) }= \frac{a}{2sin(\beta ).cos(\beta ) }[/tex]

[tex]cos(\beta )=\frac{a}{2b }[/tex]

[tex]\frac{c}{sin(\gamma ) }=\frac{b}{sin(\beta ) }[/tex]

[tex]\frac{c}{3sin(\beta )-4sin^3(\beta ) }=\frac{b}{sin(\beta ) }[/tex]

[tex]\frac{c}{3-4sin^2(\beta ) }=\frac{c}{4cos^2(\beta ) -1} =b[/tex]

[tex]c=b(4cos^2(\beta ) -1)=b(4(\frac{a}{2b } )^2-1)=b(\frac{a^2}{b^2 } -1)=\frac{a^2-b^2}{b }[/tex]

[math10.com]

ttt.png (32.32 KiB) Прегледано 361 пъти