Правоъгълен триъгълник

[kc2yzl]

▲ABC - правоъгълен, C = 90 °. CD e височина към хипотенузата. М е среда на CD, N - среда на BD. AC=b, BC=a. Докажете, че
AM:CN=b:a.

[Zarrie]

Нека [tex]\angle CAD = \alpha \Rightarrow \angle CBD = 90 -\alpha[/tex],но [tex]\angle DCB = \alpha \cup \angle ACD = 90-\alpha \Rightarrow \Delta ADC \approx \Delta CDB \Rightarrow \frac{AD}{CD} =\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{CB}[/tex]
[tex]MC = \frac{1}{2}CD, NB = \frac{1}{2}DB \Rightarrow \frac{MC}{NB}=\frac{DC}{DB}[/tex]
но [tex]\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{BC}[/tex]и[tex]\angle ACM = \angle CBN = 90-\alpha \Rightarrow \Delta AMC \approx \Delta CNB \Rightarrow \frac{AM}{CN}=\frac{AC}{BC}=\frac{a}{b}[/tex]

[kc2yzl]

Нека [tex]\angle CAD = \alpha \Rightarrow \angle CBD = 90 -\alpha[/tex],но [tex]\angle DCB = \alpha \cup \angle ACD = 90-\alpha \Rightarrow \Delta ADC \approx \Delta CDB \Rightarrow \frac{AD}{CD} =\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{CB}[/tex]
[tex]MC = \frac{1}{2}CD, NB = \frac{1}{2}DB \Rightarrow \frac{MC}{NB}=\frac{DC}{DB}[/tex]
но [tex]\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{BC}[/tex]и[tex]\angle ACM = \angle CBN = 90-\alpha \Rightarrow \Delta AMC \approx \Delta CNB \Rightarrow \frac{AM}{CN}=\frac{AC}{BC}=\frac{a}{b}[/tex]

Елегантно,
благодаря ви от сърце