Задачи от формули на Виет и рационални уравнения

[Гост]

Имам няколко задачи от домашно които не мога да реша ще съм много щастлив ако някои ми помогне. Та ето ги :
1) 2/(11-9х^2-30x) = 1/((3x-1)^2) - 3/((3x+11)^2)
2)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680
3)(x+3)^4 + (x+5)^4=16
4)x1 и х2 (a^2 - 5a +3)x^2 + (3a-1)x +2 = 0, за параметара а ,за които x1=2x2
5) x^2 - 2x -1 = 0 да се докаже, че x1^2015+x2^2015-2x1^2014-2x2^2014 = x1^2013+x2^2013
Благодаря предварително !

[ptj]

5- та:

[tex]x_1,2=1\pm\sqrt{2}[/tex]

[tex]x_1^2-2x_1^2-1=0[/tex] умножаваш двете страни по [tex]x_1^{2013}\ne 0[/tex]

[tex]x_1^{2015}-2x_1^{2014}=x_1^{2013}[/tex]

аналогично [tex]x_2^{2015}-2x_2^{2014}=x_2^{2013}[/tex]

Събираш последните 2 почленно и получаваш:

[tex]x_1^{2015}+x_2^{2015}-2x_1^{2014}-2x_2^{2014}=x_1^{2013}+x_2^{2013}[/tex]

[Гост]

Трета задача: Полагаме y=x+4. Уравнението става (y-1)^4+(y+1)^4=16.
Повдигаме на четвърта степен - y^4-4y^3+6y^2-4y+1+y^4+4y^3+6y^2+4y+1=16
Окончателно получаваме биквадратното уравнение y^4+6y^2-7, чиито реални корени са y=1, y=-1(надявам се, знаеш как ), оттам намираш х=y-4.

[KOPMOPAH]

Първа задача: Ако разложиш първия знаменател на (3x-1)(3x+11) и положиш 3x-1=y, ще се получи:

-2/(y(y+12))=1/y^2-3/(y+12)^2, което след умножаване на двете страни на равенството с (y(y+12))^2 става

-2(y(y+12))=(y+12)^2-3y^2, което вече се решава (мисля) без проблем

[KOPMOPAH]

Втора задача бих решил така: Полагам y=x+5.5, тогава уравнението става (y+1.5)(y+0.5)(y-0.5)(y-1.5)=1680

след съответно групиране (y^2-0.25)(y^2-2.25)=1680, след разкриване на скобите се получава отново биквадратно уравнение. Малко е досадно с десетичните дроби , но е напълно решимо

[KOPMOPAH]

Четвърта задача:

За да има реални корени това уравнение, трябва дискриминантата му да е неотрицателна, т.е.
(3а-1)^2-4.2.(a^2 - 5a +3)≥0 и коефициентът пред х^2 да е ≠ 0
оттук се получават допустимите стойности за параметЪра а (намери ги )

от формулите на Виет
[tex]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}= -\frac{3a-1}{a^2-5a+3}=3x_{2}\Rightarrow x_{2}=-\frac{3a-1}{3(a^2-5a+3)}[/tex]
[tex]x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}= \frac{2}{a^2-5a+3}=2x_{2}^2\Rightarrow x_{2}^2= \frac{1}{a^2-5a+3}[/tex]

Нататък:
[tex](-\frac{3a-1}{3(a^2-5a+3)})^2= \frac{1}{a^2-5a+3}[/tex],
решаваш като уравнение спрямо а и ... готово

[pal702004]

За 4-та задача: Ако в уравнението [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] искаме [tex]x_1=2x_2[/tex] можем да се възползваме от това, че [tex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=2+\frac 1 2 =\frac 5 2[/tex]
и
[tex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2[/tex]

и се свежда до [tex]2b^2=9ac[/tex], което в конкретният случай си е квадратно. Направо си е линейно.

И корените ще са реални, защото[tex]b^2>4ac[/tex]