Задачи от правоъгълни триъгълници

[Гост]

Имам 3 задачи от правоъгълни триъгълници на които дори не знам откъде да тръгна ако може някой да ми помогне как се решават ето ги:
1 - Правоъгълен триъгълник АВС със страна АВ = 6, ъглополовяща през В = 2[tex]\sqrt{3}[/tex], да се намерят останалите страни на триъгълника.
2 - Правоъгълен триъгълник АВС със периметър 36см, вписана окръжност допира АВ в т.Р така че, АР:РВ = 2:3, да се намери АВ.
3- Правоъгълен триъгълник АВС, АС=ВС, АН перпендикулярна на ВС и АН = 6см, СМ перпендикулярна на АВ СМ = 5см. Търси се АС и АВ.

[Knowledge Greedy]

В трета има нещо объркано.

Най-лесна е втора. Да означим [tex]AP=2x[/tex] и [tex]BP=3x[/tex]
Известна е формулата
[tex]S_{\Delta ABC}=AP.BP=6x^2[/tex]

Да продължим с означенията. Радиусът на вписаната окръжност е [tex]r[/tex].
Полупериметърът e [tex]5x+r=18[/tex]
Лицето на триъгълника по втори начин [tex]S_{\Delta ABC}=pr=18r[/tex]

[tex]18r=6x^2 \,\ \Rightarrow r=\frac{x^2}{3}[/tex]
Уравнението за полупериметъра
[tex]5x+\frac{x^2}{3}=18[/tex]
дава
[tex]x=3[/tex]
Следователно хипотенузата е [tex]AB=15[/tex].

Разглеждаме първата. Отново си мислим със стандартни означения - считаме, че хипотенузата е [tex]AB=6[/tex].

Свойство на ъглополовяща и дължината и.PNG (4.12 KiB) Прегледано 302 пъти

Като използваме свойствата на ъглополовящата, добавяме означения на чертежа.
Съставяме система с две уравнения, едното с теоремата на Питагор, а другото с формулата за дължина на ъглополовящата [tex]l^2_b=ac-mn[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} (a+6)^2x^2+a^2=36 \\ 6a-6ax^2=(2\sqrt{3})^2 \end{array}[/tex]
След изключване на коефициента на пропорционалност [tex]x[/tex], получаваме уравнението
[tex]a^3+5a^2-12a-36=0[/tex]
Със схемата на Хорнер
[tex]a=3[/tex]
Следователно [tex]BC=3[/tex] и [tex]AC=3\sqrt{3}.[/tex]
______________
П.п. Сега се усетих, че може и с уравнение от втора степен. Просто първото уравнение на системата заменете с теорема на Питагор, само че за [tex]\Delta BCL[/tex].