Метрични зависимости в окръжност

[g_stoyanov]

Здравейте,
имам нужда от помощ за решаването на няколко задачи.
Ще съм ви много благодарен ако ми помогнете
А ето ги и задачите:
1)Височините АА1, BB1, CC1 на остроъгълния триъгълник ABC се пресичат в точка H.Докажете, че AH.HA1 = BH.HB1 = CH.HC1.
2)Ортоцентърът H дели височината CD към основата AB на равнобедрения ABC на отсечките CH = 7см и HD = 9см. Намерете дължините на страните на ABC.
3)Диагоналите на изпъкналия четириъгълник ABCD се пресичат в точката O. Докажете, че около ABCD може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато OA.OC = OB.OD.
Мерси предварително.
P.S. Задачите ми трябват за 21.04.2010. затова ако може да ми помогнете до тогава.

[martin123456]

1
тъй като [tex]\angle AB_1B=\angle AA_1B[/tex], то около [tex]ABA_1B1_1[/tex] има окръжност. [tex]AA_1[/tex], [tex]BB_1[/tex] са пресичащи се хорди в нея => [tex]AH.HA_1=BH.HB_1[/tex]. аналогично се док и за другите

[martin123456]

2
питагорова т-ма учена ли е?

[martin123456]

3
=> ако може да се опише окръжност значи [tex]AO.OC=DO.OB[/tex]
<= да допуснем че е в сила [tex]AO.OC=DO.OB[/tex]=> [tex]\frac{AO}{OB}=\frac{DO}{OC}[/tex]. Но [tex]\angle AOB = \angle COD[/tex]=>[tex]\Delta AOB \sim \Delta DOC[/tex]=> [tex]CB[/tex] се вижда под равни ъгли от точките [tex]A[/tex], [tex]D[/tex] => може да се опише окръжност

[ganka simeonova]

2
питагорова т-ма учена ли е?

Mисля, че за 9 клас все още не е учена.

[ganka simeonova]

Но, дори и да не е учена, Питагоровата теорема е следствие и от подобие, така че...

[martin123456]

2
[tex]\angle CAB=\alpha[/tex]=>[tex]\angle ABA_1=\alpha[/tex]=>[tex]\angle A_1AB=90^\circ -\alpha[/tex]. В [tex]\Delta CDB[/tex]: [tex]\angle DCB=90^\circ-\alpha[/tex]=>[tex]\Delta AHD \sim \Delta CBD[/tex].
=> [tex]\frac{AB}{2.16}=\frac{9.2}{AB}[/tex]=>[tex]AB=24[/tex]. нека [tex]AH=x[/tex]. пак от това подобие: [tex]AC=\frac{4x}{3}[/tex]. от задача 1: [tex]HA_1=\frac{63}{x}[/tex]. от [tex]\Delta AA_1B \sim \Delta CA_1H[/tex]=>[tex]CA_1=\frac{7(x+\frac{63}{x})}{24}[/tex]. от [tex]\Delta AHD \sim \Delta CHA_1[/tex]=>[tex]CA_1=\frac{12.7}{x}[/tex]=>[tex]\frac{7(x+\frac{63}{x})}{24}=\frac{12.7}{x}[/tex]=>[tex]\frac{x+\frac{63}{x}}{24}=\frac{12}{x}[/tex]=>[tex]x^2+63=12.24[/tex]=>[tex]x=15[/tex]

[martin123456]

Mисля, че за 9 клас все още не е учена.

питагорова т-ма се учи в 9ти клас, в края. ти на кой клас преподаваш?

[g_stoyanov]

Мерси много за помощта.
Ам има още една задачка ако ви се занимава
1) Триъгълник ABC с медицентър точката G е вписан в окръжност k(O;R).Докажете, че OG^2(на квадрат) = R^2-(2/9).m^2 - (a^2)/6, където a и m са съответно BC i медината към нея
Мерси Предварително

[martin123456]

нека [tex]OG[/tex] пресича окръжността в [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] и [tex]AG[/tex] пресича окръжността в [tex]T[/tex].
от пресичащите се хорди [tex]MN \cap AT = G[/tex]=>[tex]\frac{2m_a}{3}(\frac{m_a}{3}+x)=(R+OG)(R-OG)[/tex] => [tex]OG^2=R^2-\frac{2m_a^2}{9}-\frac{2m_a}{3}x[/tex]
значи трябва да док [tex]x=\frac{a^2}{4m_a}[/tex]
но от пресичащите се хорди [tex]CB \cap AT = M[/tex]=>[tex]\frac{c^2}{4}=m_ax[/tex]