правоъгълен триъгълник

[Гост]

Катетите на правоъгълен триъгълник АВС (С=90°) са 10 и 8. В него е вписан квадрат, така че единият от ъглите му съвпада с правия ъгъл на триъгълника М лежи на АВ, Н лежи на ВС и Р лежи на АС. Докажете, че триъгълник АВС е еднакъв/подобен на тригълник АМР. Намерете страната на квадрата.

Нахвърлял съм няколко идеи, но не мога да се сетя как се решаваше този вид задачи.

[Knowledge Greedy]

Ако страната на квадрата е [tex]x[/tex], от подобието [tex]\Delta AMP \sim \Delta ACB[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\ \frac{AP}{AC} = \frac{PM}{CB}[/tex]

т.е. [tex]\frac{8-x}{8} = \frac{x}{10}[/tex]
[tex]x=\frac{40}{9}[/tex]

Друг начин.
С формула за ъглополовящата. Тъй като диагоналът на квадрата [tex]CM[/tex] е ъглополовяща на правия ъгъл,
то [tex]CM=\frac{2ab}{a+b}cos45^\circ[/tex]

[tex]x\sqrt{2}=\frac{2.10.8}{10+8}\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{40}{9}[/tex]