Вписан триъгълник в окръжност - 9 клас

[Гост]

В окръжност е вписан триъгълник АВС със страни АВ=15см, АС=21см, ВС=24см. Ако т.Д е средата на дъгата ВС(несъдържаща т.А), намерете дължините на отсечките на които се разделя отсечка ВС от хордата АД.

2.зад
Дължините на основата и бедрото на равнобедрен триъгълник са 2см и 7см. Докажете, че височината към основата е 4 пъти по-голяма от диаметъра на вписаната окръжност.

[Davids]

1. Тъй като AD свършва в средата на дъгата, то тя е ъглополовяща на ъгъл CAB. Оттам следва просто да ползваш свойството на ъглополовящата. Ще означим точката, в която АД пресича BC с P. BP ще е x:
[tex]\frac{x}{24-x} = \frac{15}{21}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x = BP = 10cm \Rightarrow CP = 14cm[/tex]

2. Ще означим центъра с O, а радиуса ще изразим с [tex]r = \frac{d}{2}[/tex]
Тъй като центъра лежи на ъглополовящите, ще използваме свойството на ъглополовящата от А.
Т.е.:
[tex]\frac{r}{h-r} = \frac{1}{7}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\frac{d}{2}}{h - \frac{d}{2}} = \frac{1}{7}[/tex]
[tex]\frac{d}{2h-d} = \frac{1}{7}[/tex]
[tex]7d = 2h - d[/tex]
[tex]2h = 8d[/tex]
[tex]h = 4d[/tex]
И зависимостта е доказана.