Ирационални уравнения

[silverday]

irazionalno.jpg (9.61 KiB) Прегледано 609 пъти

Това уравнение ми се опъна сериозно. Как ли не го въртях, не става и не става. Някой да има идея как да го реша? Ще бъда много благодарна

[pal702004]

Ами (ако не е сбъркано условието) няма реални корени. Да запишем уравнението

[tex]\frac{10+x}{12-\sqrt{10-x}}+\frac{12}{\sqrt{10+x}}=3[/tex]

ДО: [tex]x\in(-10;10][/tex]

На ДО и двете дроби са положителни и при [tex]x\le 6,\; \frac{12}{\sqrt{10+x}}\ge 3[/tex],

а при [tex]x\in(6;10][/tex]

[tex]\begin{cases} \frac{10+x}{12-\sqrt{10-x}}> 1\\ \\ \frac{12}{\sqrt{10+x}}> 2\end{cases}[/tex]

[silverday]

А как всъщност я получаваш тази зависимост Х[tex]\le[/tex]6 , както и другата: 1210+x−−−−−√≥3

Задачата я копнах така, както ми е зададена направо. Но към нея е посочен отговор конкретен - 26.
Какво ли не опитвах, не се получава

[pal702004]

Е как решение 26, като не принадлежи на ДО. Помисли малко. Или оправи условието. Това няма реални корени.

[pal702004]

26 е добро число дотолкова, доколкото и [tex]\sqrt{x-10}[/tex] и [tex]\sqrt{x+10}[/tex] са цели. Но дори да се замени в усоловието [tex]\sqrt{10-x} \;на\; \sqrt{x-10}[/tex] стойността на израва вляво пак не е 2. Провери добре условието, не ни карай да се чудим кое уравнение има корен 26.

[silverday]

26 е добро число дотолкова, доколкото и [tex]\sqrt{x-10}[/tex] и [tex]\sqrt{x+10}[/tex] са цели. Но дори да се замени в усоловието [tex]\sqrt{10-x} \;на\; \sqrt{x-10}[/tex] стойността на израва вляво пак не е 2. Провери добре условието, не ни карай да се чудим кое уравнение има корен 26.

Ако не греша, по - горе повече от ясно уточних, че съм копирала задачата, така, както е зададена и не карам никого да се чуди кое какво е.
А малко по - долу те помолих, както и на лично съобщение да обясниш решението си, защото това, което виждам при теб е решаване на неравенства и намиране на интервал с решения, а задачата е уравнение все пак и търсим конкретни стойности
Та, ако няма да те затрудня, би ли обяснил решението си все пак, имам предвид неравенствата. Благодаря предварително

[Knowledge Greedy]

pal702004 няма нужда от адвокат (И в този смисъл го моля за извинение!), но се намесвам т.к. и аз решавах задачата

pal702004 записва уравнението

[tex]\frac{10+x}{12-\sqrt{10-x}}+\frac{12-\sqrt{10+x}}{\sqrt{10+x}}=2[/tex]
така
[tex]\frac{10+x}{12-\sqrt{10-x}}+\frac{12}{\sqrt{10+x}}-\frac{\cancel{\sqrt{10+x}}^1}{\cancel{\sqrt{10+x}}_1}=2[/tex]

[tex]\frac{10+x}{12-\sqrt{10-x}}+\frac{12}{\sqrt{10+x}}=3[/tex]

Дефиниционната област
[tex]x\in (-10; \,\ 10][/tex]

Числото [tex]6[/tex] е ХУБАВО число от интервала, с чиято помощ "наум" решаваме задачата. Просто защото и двата израза с квадратни радикали стават цели числа [tex]\sqrt{10-6}=2[/tex] и [tex]\sqrt{10+6}=4[/tex].

Двете дроби са положителни и сборът им трябва да е [tex]3[/tex].

Как ще стане това при [tex]x\in (-10; \,\ 6][/tex]
Невъзможно Защото [tex]\sqrt{10+x}\le 4[/tex] и тогава само втората дроб ще е [tex]\frac{12}{\sqrt{10+x}}\ge \frac{12}{4}=3[/tex]
Но равенство не може да се получи, защото има още едно положително събираемо!

Двете дроби са положителни и сборът им трябва да е [tex]3[/tex].

Как ще стане това при [tex]x\in (6; \,\ 10][/tex]
Тогава [tex]-10\le-x<-6[/tex]

[tex]0\le\sqrt{10-x}<\sqrt{10-6}=2 \,\ \Rightarrow \,\ 12\ge12-\sqrt{10-x}>12-\sqrt{10-6}=12-2=10[/tex]
и реципрочните
[tex]\frac{1}{12}<\frac{1}{12-\sqrt{10-x}}<\frac{1}{10}[/tex]

с което първата дроб [tex]\frac{10+x}{12-\sqrt{10-x}}>\frac{10+6}{12}>1[/tex]


По същия начин и втората дроб се оказва неправилна (числителят по-голям от знаменателя), дори по-голяма от [tex]2[/tex].
[tex]\sqrt{10+x}\le \sqrt{10+10}=2\sqrt{5} \,\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{10+x}} \ge\frac{1}{2\sqrt{5}} \,\ \Rightarrow \frac{12}{\sqrt{10+x}} \ge\frac{12}{2\sqrt{5}}>\frac{12}{2.3}=2[/tex]

Невъзможно е сборът на двете дроби отляво да стане равен на тройката отдясно

Следователно уравнението няма реални корени.
_____________
Така решена, задачата е достъпна дори за осмокласник, който знае за квадратен корен и свойствата му по отношение на неравенствата, както и сравняване на дроби.
_____________
Друг е въпросът с многознаещите ученици от по-горните класове. Дванадесетокласниците ще трябва да се преборят с изкушението да изследват функцията (вижда се, че е по-добре да се раздели на две - функциите) за екстремуми и т.н.
Но който знае едното ще разбере и другото.

[Гост]

[quote="silverday"][attachment=0]irazionalno.jpg[/attachment]
Това уравнение ми се опъна сериозно. Как ли не го въртях, не става и не става. Някой да има идея как да го реша? Ще бъда много благодарна [/quote]
Даден е равнобедрен триъгълник с лице 3[tex]\sqrt{3}[/tex] кв.см. Намерете радиуса на вписаната окръжност