Правоъгълен триъгълник с вписана окръжност

[Siriusxm2]

В триъгълник ABC, C=90[tex]^\circ[/tex] с периметър 36 е вписана окръжност чийто радиус допира страната AB в точка Т. Ако AT:TB се отнася тъй както 2:3, намерете страната AB.

[ptj]

Допирни точки- [tex]А_1,B_1,C_1[/tex].

[tex]AC_1=AB_1=2k; BC_1=BA_1=3k; CA_1=CB_1=x.k[/tex] като [tex](x>0; k>0)[/tex]

[tex](5k)^2=(2k+xk)^2+(3k+xk)^2[/tex] (Питагорова теорема)

[tex]x^2+5x-6=0[/tex]

[tex](x-1)(x+6)=0[/tex]

Решението е [tex]x=1[/tex],а тогава страните са [tex]AB=5k, AC=3k, BC=4k[/tex].

[tex]5k+3k+4k=36 \Rightarrow k=3[/tex]

[tex]AB=5k=5.3=15[/tex]