Да се намерят стойностите на реалния параметър а

[Гост]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които корените на уравнението са отрицателни
(а-1)[tex]x^{2}[/tex] + a +1=2x
Поставих условията: а-1[tex]\ne[/tex] 0 , D[tex]\ge[tex/] 0 , [tex]\frac{2}{a-1}[tex] <0 и [tex]\frac{a+1}{a-1}[/tex] >0
решавам системата но нещо не се получава
[tex]\frac{2}{a-1}[tex] <0 тук може бе се бъркам, малко помощ :)

[Knowledge Greedy]

Не прекалявай с количеството на символите [tex][tex]и[/tex][/tex] - слагаш излишно много - по два пъти изглежда.
__________
А сега по същество.

Първо разглеждаш случая, когато уравнението не е квадратно, а линейно.
Това става при [tex]a=1[/tex]. Няма квадрат- няма дискриминанта (Беше казал един чичко с мустаци преди около 70-80 години .
Уравнението е
[tex]2=2x[/tex] и то има един реален положителен корен [tex]x=1[/tex]. Не ни интересува [tex]a=1[/tex].

Значи трябва [tex]a\ne 1[/tex]. Уравнението е квадратно - добива вида [tex](а-1)x^2-2ax +1=0[/tex]
То вече има дискриминанта [tex]D=B^2-4AC[/tex],
Знаеш, че коефициентите му са
[tex]A=a-1[/tex]
[tex]B=-2a[/tex]
[tex]C=1[/tex]
Дискриминантата му трябва да е неотрицателна.
[tex]D=B^2-4AC=(2a)^2-4.(a-1) \ge 0[/tex]

Оттук нататък вече мислим за това, корените му да са отрицателни. Прилагаме формулите на Виет, точно както си направил - и решаваме системата.
[tex]\begin{array}{|l} (2a)^2-4.(a-1).1\ge 0 \\ \frac{2a}{a-1}<0 \\ \frac{1}{a-1}>0 \end{array}[/tex]

Но нещо си пообъркал формулите на Виет. Ако корените са отрицателни - сборът им е отрицателен [tex]x_1+x_2=-\frac{B}{A}<0[/tex],
а произведението им е положително [tex]x_1.x_2=\frac{C}{A}>0[/tex].

Виж внимателно общия вид на уравнението, кои са ти коефициентите и замести внимателно.
Успех!

[Гост]

извинявам се много, но след като 2x мине от другата страна не става ли (а-1)x^{2} - 2x + a+ 1 =0 или пак нещо пропускам

[Knowledge Greedy]

Даа , изглежда не съм прочел условието правилно.

Значи
[tex]A=a-1[/tex]
[tex]B=-2[/tex]
[tex]C=a+1[/tex]
Системата в случая [tex]a\ne 1[/tex] e:
[tex]\begin{array}{|l} 4-4(a-1)(a+1)\ge 0 \\ \frac{2}{a-1}<0 \\ \frac{a+1}{a-1}>0 \end{array}[/tex]

Първот0 неравенство дава
[tex]-\sqrt{2}\le a\le\sqrt{2}[/tex]

Второто: [tex]a<1[/tex]

Третото: [tex]a\in (-\infty; \,\ -1) \cup (1; \,\ +\infty)[/tex]
Засичайки трите се получава [tex]\forall a\in [-\sqrt{2}; \,\ -1)[/tex]

[Гост]

Даа :oops: , изглежда не съм прочел условието правилно.

Значи
[tex]A=a-1[/tex]
[tex]B=-2[/tex]
[tex]C=a+1[/tex]
Системата в случая [tex]a\ne 1[/tex] e:
[tex]\begin{array}{|l} 4-4(a-1)(a+1)\ge 0 \\ \frac{2}{a-1}<0 \\ \frac{a+1}{a-1}>0 \end{array}[/tex]

Първот0 неравенство дава
[tex]-\sqrt{2}\le a\le\sqrt{2}[/tex]

Второто: [tex]a<1[/tex]

Третото: [tex]a\in (-\infty; \,\ -1) \cup (1; \,\ +\infty)[/tex]
Засичайки трите се получава [tex]\forall a\in [-\sqrt{2}; \,\ -1)[/tex]

и тук май идва последният ми въпрос, при второто не отчитаме ли а[tex]\ne[/tex]0 или защо a<1

[Knowledge Greedy]

и тук май идва последният ми въпрос, при второто не отчитаме ли а[tex]\ne[/tex]0 или защо a<1

Да, отчитаме, че [tex]A\ne 0[/tex]. Но в тази задача [tex]A=a-1[/tex]. Което означава, че [tex]a-1\ne 0[/tex].
Ето защо съм го подчертал по-долу (по-горе).

Даа , изглежда не съм прочел условието правилно.

...
Системата в случая [tex]a\ne 1[/tex] e: ...

Всичко, което е по-надолу, е решение на системата.

[Needhelp]

Нуждая се от помощ!!!
Задачката е:
Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които корените x_{1 } и x_{2 } на уравнението x^{2}-ax+a+3=0 са реални и | x_{1 }-x_{2 } |<=3.
Благодаря предварително!!

[Гост]

Твърдението, че корените [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] на [tex]x^{2}-ax+a+3=0[/tex] са реални и [tex]| x_{1 }-x_{2 } |\le 3[/tex] означава, че:
1) [tex]D\ge 0[/tex]
и
2) Ако означим [tex]x_2[/tex] по-големия корен, [tex]x_{2 }-x_{1 }\le 3[/tex]
е равносилно на
[tex]\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{\cancel{-b}+\sqrt{D}+\cancel{b}+\sqrt{D}}{2a}\le 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{\cancel{2} \sqrt{D}}{\cancel{2}a}\le 3[/tex]
В случая [tex]a=1[/tex]
следователно второто условие е [tex]\sqrt{D}\le 3[/tex]

Решаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} D\ge 0 \\ \sqrt{D}\le 3 \end{array}[/tex]
Като си напишем дискриминантата в явен вид, системата става
[tex]\begin{array}{|l} a^2-4a-12\ge 0 \\ a^2-4a-12\le 9 \end{array}[/tex]
(Второто уравнение сме повдигнали на втора степен, за да се освободим от корена.)
Решенията на първото неравенство са [tex]a\in (-\infty;-2]\cup [6;+\infty)[/tex]
Решенията на второто неравенство са [tex]a\in (-\infty;-3]\cup [7;+\infty)[/tex]
(За да достигнем до тези интервали, сме определили дискриминантата на всяко от неравенствата, намерили сме корените и сме разложили на множители
[tex]\begin{array}{|l} (a+2)(a-6)\ge 0 \\ (a+3)(a-7)\ge 0 \end{array}[/tex]. След това сме приложили метода на интервалите и сме получили горните решения.)
Остава да засечем решенията и получаваме отговора [tex]a\in [-3;-2]\cup [6;7][/tex]

[Needhelp]

Благодаря!