За кои стойности сумата е най-малка

[Гост]

Здравейте!
задачата е: За кои стойности на m сумата от квадратите на корените на уравнението [tex]x^2-mx+m-1=0[/tex] е най-малка?
[tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m[/tex]
[tex]x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1[/tex]

[tex]x_1^2+x_2^2[/tex][tex]=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex][tex]=m^2-2m+2[/tex]
[tex]=> min0[/tex], за [tex]m=0[/tex]
[tex]Amin=0-0+2=2[/tex], за [tex]m=0[/tex]
[tex]=>[/tex] сумата е най-малка за [tex]m=0[/tex]
Вярно ли е това решение?

[Добромир Глухаров]

Не съвсем. Вземи например [tex]m=1\Rightarrow m^2-2m+2=1-2+2=1<2[/tex]

Всъщност трябва да отделим точен квадрат: [tex]m^2-2m+2=m^2-2.m.1+1^2-1+2=(m-1)^2+1\ge 1[/tex], понеже [tex](m-1)^2\ge 0[/tex] за всяко [tex]m[/tex]. Значи най-малката стойност е [tex]1[/tex] и се достига за [tex]m-1=0\Rightarrow m=1[/tex]

[Добромир Глухаров]

А ако сте учили за графиката на квадратния тричлен [tex]ax^2+bx+c[/tex] трябва да знаеш, че за [tex]a>0[/tex] имаме минимум (най-малка стойност) при [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex].

В случая при [tex]m=-\frac{-2}{2.1}=1[/tex] - заместваме и получаваме [tex]m^2-2m+2=1^2-2.1+2=1-2+2=1[/tex]