Проекция на катет върху хипотенуза

[Гост]

В окръжност с радиус 5 см.е впписан правоъгълен триъгълник с катет 8 см. Да се намери проекцията на този катет върху хипотенузата. Отг.6,4 , но ни искат в курса решенията. Мерси предварително.

[LazyWorker]

Тъй като триъгълник АBC e правоъгълен, то хипотенузата AB е два пъти радиуса на описаната окръжност.
Ако AC=8 и CH e перпендикулярно на AB, трябва да намерим AH=х=?
Използваме, че [tex]AC^{2}[/tex]=x.AB, откъдето получаваме дължината на проекцията.

[mail_dinko]

Най-напред си правим чертеж, който съм качил като снимка.
От това, че триъгълникът е правоъгълен, следва, че хипотенузата му и диаметърът на окръжността съвпадат. Правият ъгъл с мярка 90 градуса е вписан ъгъл, на който съответства дъга с мярка 180 градуса (половината от окръжността). От тук намираме мярката на хипотенузата, равна на диаметъра (удвоен радиус):
[tex]c=d=2r=2.5 \Rightarrow \fbox {c=10}[/tex]
Построяваме височината [tex]CH \bot AB[/tex]. По този начин се виждат ортогоналните проекции на катетите, а именно:
[tex]a_1 = BH[/tex] и [tex]b_1 = AH[/tex]
Формулите за ортогонални проекции са [tex]\fbox {a_1 c=a^2 \rightarrow a_1 = \frac {a^2}{c}}[/tex] и [tex]\fbox {b_1 c = b^2 }[/tex]
От тук намираме ортогоналната проекция на дадения катет
[tex]a_1 = \frac {a^2}{c}=\frac {8^2}{10}=\frac {64}{10}=\frac {\cancel {2} . 32}{\cancel {2} . 5} \Rightarrow \fbox {a_1=6,4}[/tex]