средна отсечка

[Гост]

Имам една молба. Може ли някой да ме насочи откъде да тръгна, не да ми я реши задачата? Решила съм я вече с помощта на вектори. Не че госпожата няма да ми я зачете.Но ми е интересно как става със средна отсечка, тъй като задачата е от такъв раздел все пак.

Ето я и нея: Дадени са триъгълник АВС и т.М. Нека М1 е симетричната на М спрямо А, М2 е симетричнатана М1 спрямо В и М3 е симетричната на М2 спрямо С. Да се докаже, че средата на отсечката ММ3 не зависи от избора на точката М.

[ptj]

Xм, с координати се обяснява на 3 реда:
Нека М(x,y). При всяка нова симетрична точка в нейните координати x,y винаги си сменят само знака. Тогава след 3 смени те ще са със знак '-'' , докато при М с '+', т.е. кординатите на средата на [tex]MM_3[/tex] ще са [tex](\frac{xA-xB+xC}{2};\frac{уА-yB+yC}{2})[/tex], т.е. инвариантни спрямо (x,y).

[ptj]

Написаното горе може да се обясни и вектори:
Ако [tex]M_1[/tex] е образа на [tex]M[/tex] при централна симетрия спрямо [tex]A[/tex], за произволна точка O e изпълнено [tex]\vec{OM_1}=2\vec{OA}-\vec{OM}[/tex].
Aналогично като приложим и останалите две симетрии ще получим
[tex]\vec{OM_3}=2\vec{OC}-2\vec{OB}+2\vec{OA}-\vec{OM}[/tex],
т.е. за средата [tex]P[/tex] на [tex]MM_3[/tex] е изпълнено [tex]\vec{OP}=\vec{OC}-\vec{OB}+\vec{OA}[/tex].

П.П. 2-ката в координатите нa предишното ми мнение е грешна, трябва да е само числителя на дробите.

[Гост]

Благодаря за помощта. Аз в предишния си пост написах, че с вектори съм си решила задачата и че е признато за вярно решението й. Питането ми беше за решение със средни отсечки, тъй като в сборника на Коста Коларов задачата е в такъв раздел.

[Knowledge Greedy]

Да разгледаме успоредника [tex]ABCD[/tex].

Неподвижната точка 2.png (7.53 KiB) Прегледано 422 пъти

На чертежа са изобразени точките [tex]M_{1}, \,\ M_{2}[/tex] и [tex]M_{3}[/tex], получени както е описано в условието. Ще докажем, че точката [tex]D[/tex] е средата на отсечката [tex]MM_{3}[/tex].
Да означим с [tex]X[/tex] средата на [tex]MM_{3}[/tex].
От условието [tex]A[/tex] е среда на [tex]M_{1}M[/tex], следователно [tex]AX[/tex] е средната отсечка на [tex]\Delta M_{3}M_{1}M[/tex].
Изводи: [tex]AX||M_{3}M_{1}[/tex]
[tex]AX=\frac{1}{2}M_{3}M_{1}[/tex]
От условието [tex]B[/tex] е среда на [tex]M_{1}M_{2}[/tex] и условието [tex]C[/tex] е среда на [tex]M_{3}M_{2}[/tex], следва че [tex]BC[/tex] е средна отсечка на [tex]\Delta M_{3}M_{1}M_{2}[/tex].
Изводи: [tex]BC||M_{3}M_{1}[/tex]
[tex]BC=\frac{1}{2}M_{3}M_{1}[/tex]
Следователно
[tex]AX||BC[/tex]
[tex]AX=BC[/tex]
Това означава, че [tex]ABCX[/tex] е успоредник - значи точката [tex]X \equiv D[/tex] и е независима от местоположението на точката [tex]M.[/tex]

[Гост]

Благодаря много