Центърът на вписаната окръжност дели височината в 5:2

[Гост]

В равнобедрен триъгълник центърът на вписаната окръжност дели височината към основата в отношение 5:2. Намерете основата на триъгълника, ако бедрото е 25 см.
п.с.- задачата трябва да се реши чрез първи признак за подобност на триъгълници

[Knowledge Greedy]

Със свойство на ъглополовящата и с херонова формула.
Страните се отнасят както [tex]5:5:4[/tex]. Ако основата е [tex]4x[/tex], то височината излиза [tex]x\sqrt{21}[/tex], а бедрото [tex]5x[/tex]. То е дадено, че е [tex]25[/tex]. Следователно основата е [tex]20.[/tex]

Равнобедреният с център на вписаната 5 към 2.png (15.78 KiB) Прегледано 926 пъти

[Гост]

отговорът е 40, а не 20

[KOPMOPAH]

Колегата Knowledge Greedy е допуснал лека неточност. На неговия чертеж [tex]2x=20[/tex], т.е. търсената основа е наистина 40, което не променя правилността на решението.

[inveidar]

Колегата Knowledge Greedy е допуснал лека неточност. На неговия чертеж [tex]2x=20[/tex], т.е. търсената основа е наистина 40, което не променя правилността на решението.

Колегата е прав! Друг е въпросът, че решението му не отговаря на изискването.

[Knowledge Greedy]

По отношение на изискването задачата е малко странна. Първи признак за подобност е по наличието на два ъгъла от единия триъгълник равни на два ъгъла от втория триъгълник, да направим извод за подобието на двата триъгълника.
По първи признак следва, че [tex]\Delta TIC \sim \Delta DBC[/tex],
а от тази подобност имаме пропорцията
[tex]\frac{CT}{CD}=\frac{CI}{CB}[/tex]
Последното е равносилно на
[tex]\frac{3x}{7k}=\frac{5k}{5x} \,\ \Leftrightarrow \,\ 7k^2=3x^2[/tex]... (излишно)

От условието бедрото [tex]BC=25[/tex] получаваме, че [tex]x=5[/tex]
и тогава [tex]AB=4x=20[/tex]

На практика подобието ни насочи да обърнем внимание на частите, на които се дели бедрото [tex]BC[/tex] от допирната точка [tex]T[/tex] с вписаната окръжност. Не по-малка роля изигра равенството на допирателните [tex]BD=BT[/tex].

[ptj]

Колегата Knowledge Greedy е допуснал лека неточност. На неговия чертеж [tex]2x=20[/tex], т.е. търсената основа е наистина 40, което не променя правилността на решението.

Напротив, решението му е вярно и правилния отговор е 20. Друг е въпроса, че не е нужна Херонова формула, защото от свойството на ъглополовящата директно следва [tex]CB:DB=5:2[/tex]

[Knowledge Greedy]

Не успях да коригирам мнението си и ето ме отново в началото, дори за чертежа.
Бедата във всичко е смесването на желанието за бърз отговор (херонова формула и пр.) и "трудността" да се ограничим само до първи признак за подобие на триъгълници. Като връх на всичко дойде и дублиране на част от разсъжденията със свойство на ъглополовящата (напълно излишно).
Ето окончателно решението според изискването.

Равнобедреният с център на вписаната 5 към 2.png (15.35 KiB) Прегледано 902 пъти

По първи признак наистина [tex]\Delta CIT \sim CBD \,\ \Rightarrow \,\ \frac{CI}{CB} = \frac{CT}{CD} =\frac{IT}{BD}[/tex]
Оттук с означенията по чертежа
[tex]\frac{5k}{25} = \frac{25-2x}{7k} =\frac{2k}{2x}[/tex]
Само от първото и третото следва, че [tex]x=5[/tex]
Окончателно [tex]AB=20[/tex]