Задачи по математика за 9-ти клас - подобни триъгълници.

[Гост]

математика.jpg (98.17 KiB) Прегледано 421 пъти

[Davids]

1. Горе вляво:
Ползваш Талес и оттам имаш, че [tex]AE:EB = 1:2[/tex] и [tex]DE:BC = 1:3[/tex]. Включваш даденото във втората част и намираш (ще означа [tex]DE = x[/tex]
[tex]\frac{x}{6+x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 6+x = 3x \Leftrightarrow x = DE = 3cm[/tex]

2. Горе вляво:
Така, както е зададено условието, следва че H е пета на височината към основата в равнобедрен триъгълник и [tex]\Delta AHC[/tex] е правоъгълен и няма никакъв начин да е подобен на полученият тъпоъгълен OTC. Има вероятно някоя правописна грешка? Логично е T да е от BC, е от АC, за да са подобни. Ще приема, че е така. Тогава доказателството е лесно, тъй като и двата триъгълника са правоъгълни и имат равен ъгъл - половината от ъгъл С.
Иначе второто подусловие:
[tex]OH = 3 \Rightarrow ОТ = 3 \cup CO = 8-3 = 5[/tex]
По питагорова теорема намираме [tex]CT = \sqrt{5^2 - 3^3} = 4cm[/tex]
Ще означим [tex]BT = x[/tex] и ще използваме свойството на ъглополовящата в BHC:
[tex]\frac{BH}{BC} = \frac{OH}{OC} \Leftrightarrow \frac{x}{4+x} = \frac{3}{5}[/tex]
Решаваш и получаваш: [tex]x = 6 \Leftrightarrow BA = 2x = 12cm[/tex] (свойство на допирателните)

1. Горе вдясно:
Ще означим страните на успоредника с [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]
От обиколката му имаш, че [tex]a + b = 7[/tex]
Ще означим [tex]PC = x[/tex] и [tex]MB = y[/tex]
Тогава от даденото имаш: [tex]x + y = 16 - 7 = 9[/tex]
И поради подобието на трите триъгълника PNC, MBN и ABC ще изведем още една двойна зависимост:
[tex]\frac{b}{x} = \frac{y}{a} = \frac{5}{3}[/tex]
Решаваш системата и получаваш накрая: [tex]а = 4,5cm; b = 2,5cm[/tex]

2. Горе вдясно:
Триъгълниците са подобни, тъй като центърът на описаната окръжност лежи на пресечната точка на симетралите, което ще рече, че OM сключва прав ъгъл с AC. И тъй като имат общ ъгъл и са правоъгълни, те са подобни.
Второто подусловие:
Спускаш OA = OC = R = 4cm, а за OH оставa 2cm.
Правиш питагорова теорема и намираш половината от основата [tex]x = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}[/tex]
После правиш питагорова теорема за AHC и намираш бедрото
[tex]b^2 = CH^2 + AH^2 = 36 + 12 = 48 \Leftrightarrow b = 4\sqrt{3}[/tex]
Което е равно и на BC.

1. Долу вляво:
Едното бедро ще е c, а другото [tex]\frac{5}{2} + c[/tex]
Първо ще си спуснеш височината [tex]DH = h[/tex] от D и ще построиш успоредна на другото бедро права [tex]DP = \frac{5}{2} + c[/tex]. След това правиш система от питагорови теореми, като ще означим [tex]AH = x[/tex]:
\begin{array}{|l} (\frac{5}{2} + c)^2 = h^2 + (5-x)^2 \\ c^2 = h^2 + x^2 \end{array}
Ще развиеш изразите, ще извадиш почленно, ще смяташ и накрая ще достигнеш до равенство:
[tex]x = \frac{15 - 4c}{8}[/tex]

След това ще спуснем права DK към AC, която ще е успоредна и равна на диагонала, който е 6 см (спуснал съм я наляво).
Правим нова система с една нова питагорова теорема и една от старите:
[tex]\begin{array}{|l} 36 = h^2 + (4+x)^2 \\ c^2 = h^2 + x^2 \end{array}[/tex]
Развиваме и изваждаме почленно, за да достигнем до:
[tex]36 - c^2 = 16 + 8x[/tex]
И тук заместваме хикс с изведената горе зависимост. Получава се:
[tex]36 - c^2 = 31 - 4c[/tex]
[tex]\Leftrightarrow c^2 - 4c - 5 = 0[/tex]
Единствен положителен корен е [tex]c = 5[/tex] и така двете бедра са 5 и 7,5 см.

2. Долу вляво: не се вижда докрай.

2. Долу вдясно:
Подобието отново не е възможно по този начин. А другото се решава пак като горе:
Намираме CT = 4, знаем, че BC = 10, следователно за BT остава 6. Ползваме свойство на допирателните и основата е AB = 2BT = 12cm.