Подобни триъгълници

[Гост]

В триъгълник АВС със страна АВ=6 см и височина към нея 3 см е вписан правоъгълник. Лицето на правоъгълника е 2,5 квадратни см и едната му страна е успоредна на АВ. Намерете страните на правоъгълника.

[Davids]

pravoug_v_tr.png (16.07 KiB) Прегледано 240 пъти

Означенията се виждат.
Понеже [tex]AB:CD = 2:1[/tex], то същото важи и в триъгълника GEC, следователно CJ ще е [tex]\frac{1}{2}b[/tex], както съм го означил.
Лицето на големия триъгълник е [tex]S_{ABC} = \frac{6.3}{2} = 9cm[/tex]
Лицето на правоъгълника по условие е 2,5см, [tex]\Rightarrow ab = 2,5 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}b[/tex]
Сега ще изразим лицата на всички малки триъгълничета около правоъгълника.
Имаме: [tex]S_{AHG} + S_{IBE} = \frac{(6-b)a}{2}[/tex]
И [tex]S_{GEC} = \frac{b.\frac{1}{2}b}{2} = \frac{b^2}{4}[/tex]
Следователно лицето на целия триъгълник е:
[tex]S_{ABC} = \frac{(6-b)a}{2} + \frac{b^2}{4} + 2,5 = 9[/tex]
Заместваме а, привеждаме под общ знаменател и опростяваме, за да стигнем до вида:
[tex]2b^2 - 15b + 13 = 0[/tex]
[tex]b_1 = 13cm \Rightarrow a_1 = \frac{5}{2}b = \frac{65}{2} = 32,5cm[/tex]
[tex]b_2 = 2cm \Rightarrow a_2 = \frac{5}{2}b = 5cm[/tex]
И понеже правоъгълникът е вписан в триъгълника, то страните му следва да са по-малки и валидната двойка е втората.