Системи уравнения от втора степен

[Гост]

1.Лека кола изминав 450 km за 1 h 30 min повече, отколкото друга лека кола. Ако двете коли се движеха със скорости, увеличени с 15 km/h , първата щеше да измине същия път за 1 h повече отколкото втората. С каква скорост се е движела всяка кола?
Отг. :60 km/h и 75 km/h.

2.Намерете стойността на параметъра m, за която системата има едно решение (тука ако може да ми разясните условията да има 1 решение) , и решете получената система
[tex]\begin{array}{|l} x - y= (1+xy)m \\ x + y + xy +2 = 0 \end{array}[/tex]

[Davids]

1. Зад
1. Условието може да се представи чрез таблица по начинът, показан на снимката:

13161447_933598180092606_1737278594_o.jpg (168.52 KiB) Прегледано 430 пъти

2. След като сме означили скоростта на едната кола с x, а на втората с y, от таблицата следва следната система:
[tex]\begin{array}{|l} x(\frac{450}{y} + \frac{3}{2}) = 450 \\ (x + 15)(\frac{450}{y + 15} + 1) = 450 \end{array}[/tex]

3. След нужните преобразувания във първото уравнение достигаме до вида:
[tex]300x + xy = 300y
\Rightarrow x = \frac{300y}{300 + y}[/tex]
Откъдето поне на мен сметките ми станаха адски сложни след заместване във второто уравнение, но отговорът се получава и по този път

4. Заместваме във второто уравнение и получаваме:
[tex]\frac{300 y + 15(300 + y)}{300 + y}.\frac{465 + y}{y + 15} = 450[/tex]
Откъдето:
[tex](7y + 100)(465 + y) = 10(300+y)(y+15)[/tex]

И накрая получаваме квадратното уравнение:
[tex]3y^{2} - 205y - 1500 = 0[/tex], на което единият корен е 75, а другият - отрицателен.

5. Скоростта на втората кола е 75km/h [tex]\Rightarrow x = \frac{300y}{300 + y} = \frac{300}{5} = 60km/h[/tex]

Сигурен съм, че трябва да има и по-просто решение, но на мен това ми стигна и си поиграх да смятам с калкулаторчето

[Davids]

2. Зад.:
Имаме системата:
[tex]\begin{array}{|l} x - y= (1+xy)m \\ x + y + xy +2 = 0 \end{array}[/tex]

1. За да намериш за кои стойности на параметъра m решението има само едно решение, трябва да изразиш едната променлива от уравнението без параметър, да заместиш в параметричното и да разгледаш за кои стойности на параметъра полученото параметрично уравнение с едно неизвестно има само едно решение. В нашия случай изразяваме от второто уравнение:
[tex]y(x+1) + x + 2 = 0 \Leftrightarrow y = -\frac{x+2}{x+1}[/tex]

2. Заместваш в параметричното уравнение и получаваш:
[tex]x + \frac{x+2}{x+1} = m - mx.\frac{x+2}{x+1}[/tex]
[tex]x(x+1) + x + 2 = m(x+1) -mx(x+2)[/tex]
[tex](m + 1)x^{2} + (m+2)x + 2 - m = 0[/tex]

3. След като си достигнал чрез нужните преобразувания до квадратния тричлен, остава да помислим върху условието на задачата - системата да има само едно решение. Следователно нашият тричлен също трябва да има само един x, на който да съответства само един y. Следователно системата трябва да има дискриминанта нула. Решаваме!
[tex](m + 1)x^{2} + (m+2)x + 2 - m = 0[/tex]
D = [tex]m^{2} + 4m + 4 - 4(m+1)(2-m) = 0[/tex]
[tex]m^{2} + 4m + 4 + 4(m+1)(m-2) = 0[/tex]
[tex]m^{2} + 4m + 4 + 4(m^{2} - m - 2) = 0[/tex]
[tex]5m^{2} - 4 = 0[/tex]
[tex]\Rightarrow m = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]
И това са двете стойности на m, за които нашата система има само едно решение.

4. След като сме намерили параметъра, вече имаме две системи за решаване:
[tex]\begin{array}{|l} x - y= \frac{2}{\sqrt{5}}(1+xy) \\ x + y + xy +2 = 0 \end{array}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} x - y= -\frac{2}{\sqrt{5}}(1+xy) \\ x + y + xy +2 = 0 \end{array}[/tex]
И тук теорията ми леко куца, но очевидно според някоя закономерност при решаване с двете противоположни стойности на параметъра m се получават две симетрични двойки решения, така че ще представя решение само с едната стойност на m = \frac{2}{\sqrt{5}}:
* Премахваме знаменателя в първото уравнение:
[tex]x - y= \frac{2}{\sqrt{5}}(1 + xy) \Leftrightarrow \sqrt{5}(x - y) = 2(1 + xy)[/tex]
* Още отгоре имаме изведено от второто уравнение [tex]y = -\frac{x+2}{x+1}[/tex]. Заместваме и получаваме:
[tex]\sqrt{5}(x + \frac{x + 2}{x + 1}) = 2 - 2x.\frac{x + 2}{x + 1}[/tex]
[tex]\sqrt{5}(\frac{x(x + 1) x + 2}{x + 1}) = \frac{2(x + 1) - 2x(x + 2)}{x + 1}[/tex]
[tex]\sqrt{5}(x^{2} + 2x + 2) = 2x + 2 - 2x^{2} - 4x[/tex]
[tex]x^{2}(\sqrt{5} + 2) + 2x(\sqrt{5} + 1) + 2\sqrt{5} - 2 = 0[/tex]
* Понеже знаем, че дискриминантата е 0, минаваме директно на варианта [tex]x_{1, 2} = -\frac{b}{2a}[/tex]:
[tex]x_{1, 2} = -\frac{2(\sqrt{5} + 1)}{2(\sqrt{5} + 1)} = -\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 2} = ...[/tex] (рационализираме знаменателя) [tex]= \sqrt{5} - 3[/tex]

5. Намерили сме x, остава да заместим в еквивалентния израз за y:
[tex]y = -\frac{x+2}{x+1} = -\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 2} = ...[/tex] (рационализираме) [tex]= -(\sqrt{5} + 3) = -\sqrt{5} - 3[/tex]

6. Първа единствена двойка решения (за [tex]m = \frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]) е: [tex](\sqrt{5} - 3; -\sqrt{5} - 3)[/tex]
Както казах горе, при решение на системата за [tex]m = -\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex] се получава симетричната на тази двойка решения: [tex](-\sqrt{5} - 3; \sqrt{5} - 3)[/tex]

7. Слагаш си капачката на химикала и отиваш да погледаш телевизия с чаша хладка вода в ръка