Уравнение с параметър

[Гост]

Реалният параметър [tex]k[/tex] от уравнението [tex]x^{2} - 2(k - 1)x + 2k + 1 = 0[/tex] е отрицателен. Покажете, че корените му са реални.
Може ли някой да ми покаже как трябва да се реши тази задача?

[Davids]

Първото основно нещо, от което трябва да изходиш, е че за да са реални корените, дискриминантата ти трябва да е по-голяма от нула.
Следователно си извеждаш дискриминантата и трябва да докажеш, че това е така.
[tex]D = (-2(k-1))^{2} -4.1.(2k+1) = 4(k^{2} - 2k + 1) - 8k - 4 = 4k^{2} - 8k + 4 - 8k - 4 = 4k(k-4)[/tex]
Остава да докажем, че 4k(k-2) e винаги положително при k < 0 (даденото по условие). Разглеждаме двата множителя:
* 4k e винаги по-малко от нула, тъй като k < 0;
* k - 4 е също винаги по-малко от нула, тъй като изваждаме от отрицателно число.
Два отрицателни множителя дават винаги положително произведение [tex]\Rightarrow[/tex] реални корени съществуват за всяко k < 0.

[Knowledge Greedy]

[tex]x^2−2(k−1)x+2k+1=0[/tex]
Изразяваме [tex]k[/tex]

[tex]x^2−2kx+2x+2k+1=0[/tex]
Отделяме и групираме едночлените съдържащи [tex]k[/tex]
[tex]2(x-1)k=x^2+2x+1[/tex]

[tex]x\ne 1[/tex], защото ако [tex]x=1[/tex] лявата страна става нула, а дясната [tex]3[/tex].
Затова можем да разделим на [tex]x-1[/tex] и [tex]k[/tex] е изразено.
[tex]k=\frac{x^2+2x+1}{2(x-1)}[/tex]
Четем отново условието.
Реалният параметър k е отрицателен.
Разглеждаме неравенството [tex]k<0[/tex]
[tex]\frac{x^2+2x+1}{2(x-1)}<0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x<1[/tex]
Числителят е [tex]x^2+2x+1\ge 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex], за всяко [tex]x\ne -1[/tex]
(В случая [tex]x=-1[/tex] се вижда, че [tex]k=0[/tex] и не е отрицателно.) Следва, че [tex]k<0 \Leftrightarrow x<1[/tex]

И така дотук: ако за отрицателни [tex]k[/tex] уравнението има реални корени, то те ще са по-малки от [tex]1.[/tex]

Четем пак условието. Покажете, че корените на уравнението [tex]x^2−2(k−1)x+2k+1=0[/tex] са реални.
Разглеждаме дискриминантата му.
[tex]D=4k^2-8k=4k(k-2)[/tex]
От [tex]k<0 \,\ \Rightarrow \,\ k-2<0[/tex] и следователно дискриминантата е винаги положителна. Следователно уравнението има реални корени.
(Нещо повече, тези корени винаги са по-малки от [tex]1[/tex]).