Радиус на описаната около правоъгълник окръжност

[Гост]

Моля ви ако някой може да ми помогне с тези 3 задачи , благодаря ви предварително

[Davids]

1. Зад.:
Построяваш си диагонала АС и работиш с триъгълник ABC, тъй като описаната около този триъгълник окръжност е същата, която е описана и около правоъгълника.
Намираш диагонала по питагорова теорема: [tex]d^2 = AB^2 + BC^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676 = 26^2 \Leftrightarrow d = 26[/tex]
За лицето на получения правоъгълен триъгълник имаш: [tex]S = \frac{ab}{2} = \frac{abc}{4R}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{10.24}{2} = \frac{10.24.26}{4R}[/tex]
Откъдето лесно се намира [tex]R = 13cm[/tex]

2. Зад.:
Ползвам стандартни означения за ABC с височина CH.
Бедрото [tex]b[/tex] намираш лесно по питагорова теорема за ACH:
[tex]b^2 = 13^2 + 84^2 = 7056 + 169 = 7225 = 85^2 \Leftrightarrow b = 85[/tex]
Oттам нататък радиуса можеш да го намериш по поне три начина, като аз ще ползвам любимия си (с тригонометрия ):
Ще означа ъгъл ACH с [tex]\gamma[/tex] (само половинката от целия! ). После си взимаш центъра на вписаната окръжност (т. O) върху височината и пускаш радиуса към AC - OM.
Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника ACH и COM:
* Oт тангенса на ъгъл гама можем да извлечем: [tex]tg\gamma = \frac{r}{72} = \frac{13}{84}[/tex]

Скрит текст: покажи

* Или от синуса на ъгъл гама получаваме: [tex]sin\gamma = \frac{r}{84-r} = \frac{13}{85}[/tex]
* Или от подобието на двата триъгълника извличаш зависимостта: [tex]\frac{r}{13} = \frac{72}{84} = \frac{84-r}{85}[/tex] и решаваш откъдето си харесаш
* Или от свойството на ъглополовящата АО имаш: [tex]\frac{r}{84-r} = \frac{13}{85}[/tex]

Получаваме [tex]r = \frac{78}{7} = 11\frac{1}{7}cm[/tex]

3. Зад.:
Пускаш си височината DH и имаш [tex]AH = \frac{a-b}{2} = 3cm[/tex]
Следователно по питагорова теорема за триъгълник ADH намираш [tex]h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4cm[/tex]
Остана лицето: [tex]S = \frac{a+b}{2}h = 5.4 = 20cm^2[/tex]