Докажете тъждествата

[Гост]

Здравейте , мисля , че имам някои големи пропуски от миналите години и сега не мога да реша следните задачи :

[Гост]

В лявата страна
[tex]\frac{x}{(x+1)^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x^2}[/tex]
разлагаме на множители знаменателите
[tex]\frac{x}{(x+1)(x+1)}+\frac{1}{(x-1)}+\frac{x}{(1-x)(1+x)}[/tex]
представяме ги по еднообразен начин
[tex]\frac{x}{(x+1)(x+1)}+\frac{1}{(x-1)}-\frac{x}{(x-1)(x+1)}[/tex]
и конструираме общия знаменател.
Общият знаменател трябва да се дели на всеки от трите знаменателя.
Следователно общият знаменател трябва да съдържа всеки от множителите
[tex](x+1)[/tex] и [tex](x-1)[/tex] по толкова пъти, колкото най-често се среща в един от знаменателите.
Ето защо вземаме [tex](x+1)[/tex] два пъти - т.е. [tex](x+1)^2[/tex],
а [tex](x-1)[/tex] само един път.
Така O3 =[tex](x+1)^2(x-1)[/tex]
Определяме допълнителния множител на числителя на всяка от дробите.
На първата е [tex](x-1)[/tex].
На втората е [tex](x+1)^2[/tex]
На третата е [tex](x+1)[/tex]
Разширяваме всяка от тези дроби със съответния множител
[tex]\frac{x(x-1)}{(x+1)^2(x-1)}+\frac{1.(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x+1)^2(x-1)}[/tex]
Извършваме действията с дробите, сега те са с общ знаменател и могат да бъдат събрани и извадени.
[tex]\frac{x(x-1)+(x+1)^2-x(x+1)}{(x+1)^2(x-1)}[/tex]
Разкриваме скобите в числителя и извършваме действията в числителя
[tex]\frac{x^2-x+x^2+2x+1-x^2-x}{(x+1)^2(x-1)}=\frac{\cancel{x^2}-\cancel{x}+x^2+\cancel{2x}+1-\cancel{x^2}-\cancel{x}}{(x+1)^2(x-1)}[/tex]
Получената дроб [tex]\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}[/tex] съвпада с дясната страна.
С това доказателството е завършено.

[ptj]

По принцип има друг начин, но за съжаление в 9 клас нямате право да ползвате теореми извън изучавания материал.
Само като информация: Ако един полином от n-та степен има една и съща стойност в ( n+1) точки, то той е константа.