Задача от приложение на Питагорова теорема

[strangerforever]

Диагоналите на трапец са перпендикулярни и разстоянието от пресечната им точка съответо до голямата основа, малката основа и едното бедро са 24 см, 12 см и [tex]\frac{60\sqrt{13} }{13 }[/tex]. Намерете лицето на трапеца.

Отг. 1350.

Благодаря предварително на всеки изявил желание да помогне.

[baroveca]

Щом диагоналите на трапеца са взаимно перпендикулярни, то ъгъла между тях е прав.

[strangerforever]

Моля, без излишни коментари.

[Spider Iovkov]

Ако [tex]\angle KAO = \angle KOB = \angle HOD = \angle HCO = \varphi[/tex], то

[tex]\angle KBO = \angle AOK = \angle HDO = \angle COH = 90^\circ - \varphi[/tex], където [tex]AC \cap BD = O[/tex].

От многото правоъгълни триъгълници лесно намираме [tex]AO = \frac{24}{sin \varphi}, \, BO = \frac{24}{cos \varphi}, \, CO = \frac{12}{sin \varphi}, \, DO = \frac{12}{cos \varphi}[/tex].

Виждаме, че [tex]BO^2 + CO^2 = BC^2 \Leftrightarrow BC = \frac{12}{sin \varphi cos \varphi} \sqrt{3 sin^2 \varphi + 1}[/tex]. Сега определяме

[tex]TO . BC = BO . CO[/tex]. От така полученото уравнение пресмятаме [tex]sin \varphi = \frac{3}{5} \Leftrightarrow cos \varphi = \frac{4}{5}[/tex].

Вече търсеното лице е [tex]S_{ABCD} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle BCO} + S_{\triangle ADO}[/tex]. Това всъщност е

[tex]S_{ABCD} = \frac{1}{2} . AO . BO + \frac{1}{2} . CO . DO + \frac{1}{2} . BO . CO + \frac{1}{2} . AO . DO \Leftrightarrow S_{ABCD} = 1350[/tex].

[Евва]

Хрумна ми идея-без тригонометрия .Ще използвам означенията на чертежа ,нека т.О е пресечна точка на диагоналите .
[tex]\triangle[/tex]ABO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]OCD ( 1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{OK}{OH}[/tex] ; [tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{24}{12}[/tex]=2
Ако означим CD=a, то AB=2a . По същата логика- нека OD=b , то BO=2b .

[tex]\frac{2a.24}{2}[/tex]=[tex]S_{ABO }[/tex]=[tex]\frac{2b.AO}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AO=[tex]\frac{24a}{b}[/tex] , тогава ОС=[tex]\frac{12a}{b}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ABO-правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{a^{2}}[/tex]+[tex]\frac{1}{b^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{h_{c }^{2}}[/tex] , в случая [tex]\frac{1}{4b^{2}}[/tex]+[tex]\frac{1}{\frac{576a^{2}}{b^{2}}}[/tex]=[tex]\frac{1}{576}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]=[tex]\frac{b^{4}}{b^{2}-144}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]BCO-правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{4b^{2}}[/tex]+[tex]\frac{1}{\frac{144a^{2}}{b^{2}}}[/tex]=[tex]\frac{1}{\frac{3600.13}{169}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]=[tex]\frac{25b^{4}}{13b^{2}-900}[/tex] (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{b^{4}}{b^{2}-144}[/tex]=[tex]\frac{25b^{4}}{13b^{2}-900}[/tex] ; 13[tex]b^{2}[/tex]-900=25[tex]b^{2}[/tex]-3 600 ; b=15 см. Връщаме се към (1),намираме а=25 см.

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{(AB+CD).HK}{2}[/tex]=[tex]\frac{( 50+25 )36}{2}[/tex]= 1 350 [tex]см.^{2}[/tex]