Подобни триъгълници

[Paincho]

Да се докаже, че във всеки триъгълник разстоянието ортоцентъра му до връх е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до срещулежащата на този връх.

[vasilews]

За съжаление, в момента не мога да представя чертеж, но би могло да го направиш и сам.
Ето решението:
Нека ортоцентъра на дадения триъгълник е H, средата на АВ е M, средата на ВС е N и АT е височина към ВС, а СQ - височина към АВ в триъгълника АВС и О е центъра на описаната около триъгълник АВС окръжност. Тогава СQ е перпендикулярна на АВ и ОМ също е перпендикулярна на АВ, защото е симетрала на АВ => CQ е успоредна на ОМ. Аналогично АТ е успоредна на симетралата на ВС, т.е. на ОN. Освен това МN е средна отсечка в триъгълник АВС, от което следва, че АС е успоредна на МN. Ъгли със взаимноуспоредни рамене са равни, тогава ъгъл АСQ е равен на ъгъл ОМN и ъгъл ТАС е равен на ъгъл ОNМ. От равенството на тези ъгли следва, че триъгълник АНС е подобен на триъгълник NОМ по първи признак. Тогава [tex]\frac{AC}{ MN}=\frac{CH}{ OM}=\frac{2}{1}[/tex], т.е. СН=2ОМ. Аналогично се доказва са другите разстояния.

[Paincho]

Мерси!