Задача от ъглополовяща

[Гост]

В [tex]\Delta АВС[tex]
[tex]\angle ВАС=3.\angle АВС[/tex] и CL - ъглополовяща. Ако [tex]S_{\Delta ABC}:S_{\Delta BCL}=1:2[/tex], то ъглите на [tex]\Delta ABC[/tex] са?

[Knowledge Greedy]

В условието на задачата има нещо нередно.
Отношението [tex]S_{ \Delta ABC}:S_{\Delta BCL}=1:2[/tex]
показва, че лицето на целия триъгълник е половинка от лицето на част от целия триъгълник.
Оправи това и ще я решим.
Виж в условието да не би [tex]S_{ \Delta ACL}:S_{\Delta BCL}=1:2[/tex] ?
Или [tex]S_{\Delta BCL}:S_{ \Delta ABC}=1:2[/tex]?

[KOPMOPAH]

Задачата е малко неточна, според мен трябва да е следната:

В $\triangle ABC$ $\measuredangle BAC=3\measuredangle ABC$ и $CL$−ъглополовяща. Ако $S_{\triangle ALC}:S_{\triangle BCL}=1:2$, то ъглите на $\triangle ABC $ са?

Ъглополовяща в триъгълник.png (4.91 KiB) Прегледано 227 пъти

От това, че лицата на $\triangle ALC$ и $\triangle BCL$ се отнасят както $1:2$ следва, че $BL=2AL$ (отбелязани на чертежа с $2c$ и $c$ съответно).
От свойството на ъглополовящата имаме съответно $CA:CB=1:2$
Лицата на триъгълниците получаваме по формулата $S_{\triangle ALC}=\frac {a.c.sin 3\alpha}2$, съответно $S_{\triangle BLC}=\frac {2a.2c.sin \alpha}2$. Съставяме уравнението $2\frac {a.c.sin 3\alpha}2=\frac {2a.2c.sin \alpha}2 \Leftrightarrow \cancel 2\frac {\cancel a. \cancel c.sin 3\alpha}{\cancel 2}=\frac {\cancel 2 \cancel a.2\cancel c.sin \alpha}{\cancel 2}$
Стигнахме до уравнението $sin 3\alpha=2sin \alpha \Leftrightarrow 3sin \alpha -4sin^3 \alpha= 2sin \alpha \Leftrightarrow sin \alpha(sin \alpha- \frac 1 2)(sin \alpha+ \frac 1 2)=0$
От корените на тригонометричното уравнение само $\alpha=30^\circ$ е подходяща стойност за ъгъл в триъгълника. Довърши сам