Правоъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълник с периметър 2p и лице S. Намерете диагоналите му.
Благодаря.

[Davids]

$S = ab; P = 2p = 2(a+b) \Rightarrow a+b = p$
За диагонала знаем по питагорова теорема, че:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a+b)^2 - 2ab} = \sqrt{p^2 - 2S}$

[Гост]

Уравнението с радикала не мога да го разбера

[Davids]

Питагорове теорема взехте ли? Ако да, то това е просто тя, приложена към диагонала $AC$, който се явява хипотенуза в правоъгълния $\Delta ABC$.

[Гост]

Ако страните на правоъгълника са [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], за дадените величини имаме
[tex]\begin{array}{|l} 2x + 2y = 2p \\ x y = S \end{array}[/tex]
От първото уравнение на тази система
[tex](x+y)^2=p^2[/tex]
и
[tex]x^2+y^2+2xy=p^2 \,\ \Rightarrow \,\ x^2+y^2=p^2 - 2xy \,\ \Rightarrow x^2+y^2=p^2 - 2S[/tex]

Диагоналите на правоъгълника са равни, да ги означим с [tex]d[/tex].
По питагорова теорема [tex]x^2+y^2=d^2[/tex]
Следователно [tex]d=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]
и това, което търсим е
[tex]d=\sqrt{p^2 - 2S}[/tex]