Отношението на дължините на основите на трапец е 9:5

[Гост]

1.Точка P е средата на медианата CM в ABC. Ако G е медицентър на ABC и PG= 5sm то дължината на CM в сантиметри е ?

2.Отношението на дължините на основите на трапец е 9:5 а разликата им е 8см дължината на средната основа на трапеца е?

3.Средната основа на трапеца има дължина 10см а отсечката която съединява средите на диагоналите ми има дължина 3 см.Дължините на основите на трапеца са?

[Davids]

1.Точка P е средата на медианата CM в ABC. Ако G е медицентър на ABC и PG= 5sm то дължината на CM в сантиметри е ?

2.Отношението на дължините на основите на трапец е 9:5 а разликата им е 8см дължината на средната основа на трапеца е?

3.Средната основа на трапеца има дължина 10см а отсечката която съединява средите на диагоналите ми има дължина 3 см.Дължините на основите на трапеца са?

1. Имаме да разгледаме две отношения: $CP:PM = 1:1$ и $CG:GM = 2:1$
Понеже средата разделя на две части в дадено отношение (в случая 1:1), а медицентъра - на три части, то самите подчасти ще изразим в $n$-ти от цялото, където $n$ е произведението на броя части, в които точките делят медианата.

Скрит текст: покажи

tl;dr
В случая ще работим явно с шести, за да можем да изразим $PG$ като част от цялото

И така, ако $k = \frac{1}{6}CM$, то $CP = PM = 3k$, $MG = 2k$ и $CP = 4k$, следователно $PG = 5 = k$
Оттам и $CM = 30cm$

2. Означаваме $a = 9x; b = 5x$. Следва $9x - 5x = 8 \Rightarrow x = 2$, тоест $а = 18; b = 10$ и оттам $m = \frac{a+b}{2} = 14cm$

3. Имаме $a + b = 20$. Пресечните точки на диагоналите със средната отсечка $KL$ ще означим със $M$ и $N$ (в ред отляво надясно), тоест дадено е $MN = 3$. От свойството на средните отсечки имаме $ML = KN = \frac{a}{2}$. Следователно $KN + ML = a$, но и $KL + ML = KL + MN = 10 + 3 = 13$. Следва, че $a = 13$ и оттам $b = 7$

[ева]

1 зад. (2 начин)
CG=[tex]\frac{2}{3}[/tex]CM ,a CP=[tex]\frac{1}{2}[/tex]CM [tex]\Rightarrow[/tex]CG>CP[tex]\Rightarrow[/tex]т.P е м/у т.С и т.G[tex]\Rightarrow[/tex]
CG-CP=PG
[tex]\frac{2}{3}[/tex]CM-[tex]\frac{1}{2}[/tex]CM=5 /.6
4CM-3CM=30
CM=30см.

[ева]

3 зад.

Скрит текст: покажи

Не мога да разбера последния ред,предлагам друго решение.

Ще ползвам т. ,които е ознаил Davids`.
KL=10 ;MN=3;нека AB=a ,CD=b
KL=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{a+b}{2}[/tex]=10 (1)
KM+MN+NL=KL
[tex]\frac{b}{2}[/tex]+3+[tex]\frac{b}{2}[/tex]=10
b+3=10
b=7 намереното b ще заместим в (1)
[tex]\frac{а+7}{2}[/tex]=10
а+7=20 ;а=13
отг.AB=a=13см.,CD=b=7см.

[Davids]

3 зад.

Скрит текст: покажи

Не мога да разбера последния ред,предлагам друго решение.

Ще ползвам т. ,които е ознаил Davids`.
KL=10 ;MN=3;нека AB=a ,CD=b
KL=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{a+b}{2}[/tex]=10 (1)
KM+MN+NL=KL
[tex]\frac{b}{2}[/tex]+3+[tex]\frac{b}{2}[/tex]=10
b+3=10
b=7 намереното b ще заместим в (1)
[tex]\frac{а+7}{2}[/tex]=10
а+7=20 ;а=13
отг.AB=a=13см.,CD=b=7см.

Ами че объркал съм едната буква при записването, в началото следва да е $KN + ML$...