Въпрос + задача

[Гост]

Отсъствах последните дни от училище и ми е трудно относно ъглополовящата в триъгълника и по-точно намирането на AB.
Работим по формулата(отношението) : AL/BL = AC/BC. Задачата е следната:

Триъгълник АВС АВ - 15см ВС-8см АС-16см. Ъглополовяща при върха С пресича АВ в точка Л. Търсим AL BL.

И втората:

В Триъгълник АВС е вписан ромб AKLM така че върховете му K L M лежат съответно на страните AB BC и AС. АВ-15см ВС-8см СА-10см.
Търси се:
Дължините на отсечките BL CL.z
и
Периметъра на ромба.

[Петър Евгениев]

Първата задача.
Използваш директно въпросната теорема.
[tex]\frac{AL}{LB}=\frac{AC}{BC}[/tex]
[tex]\frac{AL}{LB}=\frac{16}{8}[/tex], обаче така имаш две неизвестни, за да можеш да решиш за едното от тях трябва да го изразиш чрез другото.
Какво!?
Ами виж на чертежа, може да забележиш следното.
[tex]AL=AB-LB[/tex] или [tex]LB=AB-AL[/tex]
Избираш си едно от тях да речем това:[tex]BL=AB-AL[/tex], но [tex]AB=15[/tex]
[tex]LB=15-AL[/tex], заместваш горе т.е:[tex]\frac{AL}{LB}=\frac{16}{8}[/tex] и получаваш
[tex]\frac{AL}{15-AL}=\frac{16}{8}[/tex], сега имаш само едно не известно и можеш да го намериш
[tex]AL.8=(15-AL)16[/tex]
[tex]8AL=240-16AL \Rightarrow 24AL=240 \Rightarrow \boxed{AL=\frac{240}{24}=10}[/tex]
Сега като знаеш [tex]AL=10[/tex], можеш да намериш [tex]BL[/tex] като заместиш тук примерно:[tex]\boxed{LB=15-AL=15-10=5}[/tex]

П.С. Проверка можеш да направиш много лесно. Като заместиш съвсем в началото и се получи вярно равенство т.е(0=0, 1=1, ...)
Ето в случая
[tex]\frac{10}{5}=\frac{16}{8} \Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{2}{1}[/tex] Значи сме работили вярно!

[Гост]

Много благодаря! А някакви идеи за 2та задача?

[Davids]

И втората:

В Триъгълник АВС е вписан ромб AKLM така че върховете му K L M лежат съответно на страните AB BC и AС. АВ-15см ВС-8см СА-10см.
Търси се:
Дължините на отсечките BL CL.z
и
Периметъра на ромба.

Обозначаваме $AK = KL = LM = AM = a$ и тогава от подобието на $\Delta MLC \approx \Delta ABC$ имаме:
$\frac{ML}{AB} = \frac{MC}{AC} = \frac{LC}{BC} \Leftrightarrow \frac{a}{15} = \frac{10-a}{10} = \frac{8 - BL}{BL}$
От първите две части имаме след умножение на кръст: $10a = 150 - 15a \Rightarrow a = \frac{150}{25} = 6$
От вторите две части имаме $\frac{10 - a}{10} = \frac{2}{5} = \frac{8 - BL}{BL} \Rightarrow 2BL = 40 - 5BL \Rightarrow BL = \frac{40}{7}$