Задачка

[BaiStamat]

Равнобедрен триъгълник АВ-8см СА-10см.Ъглополовящата му AL1, BL2, CL1 се пресичат в точка О. Намерете отношенията AO:OL1 BO:OL2 CO:OL3

[S.B.]

[tex]\triangle[/tex]ABC е равнобедрен,АB=8,AC = BC = 10;[tex]AL_{1 }[/tex],[tex]BL_{2 }[/tex],[tex]CL_{3 }[/tex],ъглополовящи,които се пресичат в т.О;
[tex]АL_{1 }[/tex] e ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]А; За [tex]\triangle[/tex][tex]ACL_{3 }[/tex] също е ъглополовяща и пресича [tex]CL_{3 }[/tex] в т.О; От свойството на ъглополовящите имаме:[tex]\frac{ОC}{OL_{3 }}[/tex] = [tex]\frac{AC}{AL_{3 }}[/tex] = [tex]\frac{10}{4}[/tex] или [tex]\frac{ОC}{OL_{3 }}[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex];
Нека [tex]BL_{1 }[/tex] = x и [tex]CL_{1 }[/tex] = 10 - x; Тогава от свойството на ъглополовящите :[tex]\frac{BL_{1 }}{CL_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex] или [tex]\frac{х}{10 - х}[/tex] = [tex]\frac{8}{10}[/tex] от където х=[tex]\frac{40}{9}[/tex]
или [tex]BL_{1 }[/tex] = [tex]\frac{40}{9}[/tex]; За [tex]\triangle[/tex][tex]ABL_{1 }[/tex] ъглополовящата [tex]BL_{2 }[/tex] пресича [tex]АL_{1 }[/tex] в т.О ;
Oт свойството на ъглополовящите :[tex]\frac{АО}{ОL_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{AB}{BL_{1 }}[/tex] или [tex]\frac{AO}{OL_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{8}{\frac{40}{9}}[/tex] от където [tex]\frac{АО}{ОL_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{9}{5}[/tex] Аналогично понеже триъгълникът е равнобедрен [tex]\frac{BO}{OL_{2 }}[/tex] = [tex]\frac{9}{5}[/tex]
Oкончателно: [tex]\frac{OA}{OL_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{OB}{OL_{2 }}[/tex] = [tex]\frac{9}{5}[/tex] и [tex]\frac{OC}{OL_{3 }}[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex]