Теорема на Чева и Менелай

[RuzleBG]

Една от външновписаните за триъгълника ABC окръжности се допира до страната BC в точка T и до продълженията на AB и AC в точките P и Q. Докажете, че правите AT, BQ и CP се пресичат в една точка.

[123a]

Да допуснем, че правите AT, BQ И PC се пресичат в една точка, т.О. Тогава, съгласно теоремата на Чева за триъгълник APQ и тези прави, ще е изпълнено [tex]\frac{CQ}{AC}.\frac{AB}{BP}.\frac{PR}{RQ}=1 (*)[/tex]

Ясно е, че $AQ=AP=p$- допирателни към окръжност. С малко преобразувания се установява, че $CQ=CT=p-b,BT=BP=p-c$

т.S- точка на Нагел и S,T O, R би трябвало да лежат на една права след допускането горе.
Прилагаме Теорема на Менелай за $\triangle CBQ$ и правата $AO$ => $\frac{AQ}{AC}.\frac{CT}{TB}.\frac{BO}{OQ}=1=>\frac{BO}{OQ}=\frac{AC.TB}{AQ.CT}(1)$

Прилагаме Теоремата на Менелай за $\triangle BPQ$ и правата $AR$=>$ \frac{AP}{AB}.\frac{OB}{OQ}.\frac{QR}{RP}=>\frac{PR}{QR}=\frac{AP.OB}{AB.OQ}(2)$.

Сега заместваме (1) в (2) и получаваме $\frac{PR}{QR}=\frac{AP.AC.TB}{AB.AQ.CT}$, но $AQ=AP=>\frac{PR}{QR}=\frac{AC.TB}{AB.CT}(3)$

Връщаме се в $(*)$ и заместваме в него (3) да видим дали ще получим равенство .

$\frac{(p-b)}{b}.\frac{c}{(p-c)}.\frac{b}{c}.\frac{(p-c)}{(p-b)}$ След съкращаване получаваме, че $1=1$, откъдето следва, че допускането е вярно и наистина правите AT, BQ и CP се пресичат в една точка.