Задачка

[BaiStamat]

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност и диагоналите му AC и BD се пресичат в точка S. Намерете дължината на AC ако SD=5sm SB=15sm а SC е с 4см по-голяма от SA.

През точка М вътрешна за окръжност са прекарани диаметър и хорда перпендикулярна на диаметъра.Точка M разделя друга хорда на части от 16см и 9см. Намерете дължината на първата хорда.

[Hephaestus]

[tex]1.[/tex] Нека означим [tex]SA = x[/tex]. Тогава [tex]SC = x + 4[/tex]. От свойството на секущите в окръжност имаме
[tex]SA.SC = SB.SD \Rightarrow x(x+4) = 15.5 \Rightarrow x^{2} + 4x - 75 = 0[/tex]
[tex]D = 316 = (2\sqrt{79})^{2} \Rightarrow x_{1 } = -2-\sqrt{79} < 0, x_{2 } = \sqrt{79} - 2 > 0[/tex],
Става въпрос за дължина на отсечка, затова е валидна само положителната стойност [tex]\Rightarrow SA = \sqrt{79} - 2[/tex]
[tex]SC = SA + 4 = \sqrt{79} + 2[/tex], откъдето намираме [tex]AC = SA + SC = \sqrt{79}[/tex].

Другата задача е аналогична, отново трябва да се използва свойството на секущите. Просто трябва да съобразиш, че диаметър, перпендикулярен на дадена хорда, разполовява тази хорда. Смятам, че ще се справиш.

[Davids]

...откъдето намираме [tex]AC = SA + SC = \sqrt{79}[/tex]

Само лека изчислителна поправка - $AC = x + 4 + x = 2x + 4 = 2(\sqrt{79} - 2) + 4 = 2\sqrt{79} - 4 + 4 = 2\sqrt{79}$. Иначе решението е пушка

[Hephaestus]

Само лека изчислителна поправка - $AC = x + 4 + x = 2x + 4 = 2(\sqrt{79} - 2) + 4 = 2\sqrt{79} - 4 + 4 = 2\sqrt{79}$. Иначе решението е пушка

Да, забравил съм двойката отпред; отговорът е [tex]AC = 2\sqrt{79}[/tex]. Благодаря за своевременната корекция на Davids!