Задача от подобни триъгълници

[Гост]

Моля, помогнете! Задачата ми трябва за утре. Още не сме взели Питагоровата теорема...

[Гост]

Аз разгледах подобните триъгълници АМС и ВМD, но за съжаление не стигам до отговора...

[ева]

Скрит текст: покажи

Бях без компютър и отговарям късно.

AB=2R,т.М-среда на ВС,[tex]\angle[/tex]BAM=[tex]\alpha[/tex],AM=х,[tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\angle[/tex]АВС=45[tex]^\circ[/tex]
sin([tex]\angle[/tex]ABC)=[tex]\frac{AC}{AB}[/tex] ;sin45[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{AC}{2R}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AC=R[tex]\sqrt{2}[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex]AMC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MBD (1пр.)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{BM}[/tex]=[tex]\frac{AC}{BD}[/tex] (от (1))[tex]\frac{х}{\frac{R\sqrt{2}}{2}}[/tex]=[tex]\frac{R\sqrt{2}}{BD}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BD=[tex]\frac{R^{2}}{х}[/tex] (2)
(AD ,BC са пресичащи се хорди) AM.DM=BM.CM т.е. х.DM=[tex]\frac{R\sqrt{2}}{2}[/tex].[tex]\frac{R\sqrt{2}}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] DM=[tex]\frac{R^{2}}{2х}[/tex] (3)
разглеждаме [tex]\triangle[/tex]MBD-правоъг. [tex]\angle[/tex]BMD е външен за [tex]\triangle[/tex]АВМ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BMD=[tex]\alpha[/tex]+45[tex]^\circ[/tex],тогава:
tg([tex]\alpha[/tex]+45[tex]^\circ[/tex])=[tex]\frac{BD}{MD}[/tex] [ползваме (2) и (3)]
[tex]\frac{tg\alpha+tg45^\circ}{1-tg\alpha.tg45^\circ}[/tex]=[tex]\frac{\frac{R^{2}}{х}}{\frac{R^{2}}{2х}}[/tex]
[tex]\frac{tg\alpha+1}{1-tg\alpha}[/tex]=2 [tex]\Rightarrow[/tex] 3tg[tex]\alpha[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex] (4)
разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABD-правоъг. tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{BD}{AD}[/tex] [ползваме (4)] [tex]\frac{1}{3}[/tex]=[tex]\frac{BD}{AD}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AD=3BD

[Гост]

За съжаление не сме взели синус, косинус...

[ева]

Мислех,че сте взели тези теми.
Кои са последните 2 теми,които сте взели

[Гост]

Свойство на ъглополовящата. Свойство на лицата на подобните триъгълници и Метрични зависимости между отсечки в окръжност

[Петър Евгениев]

Няма много смисъл да ви дават 200тната задача от сборника като не сте взели основните теми, защото в сборника задачите обикновено се дават на няколко основни урока и се използва за всички задачи напред, не като в учебниците където са разделени в отделни уроци. Това сборник на "Архимед" ли е? Ако е там преди задачите трябва да са изписали цялата теория, която трябва да знаеш преди да решаваш задачите.

[Гост]

Задачата е от тема 8 Подобие, част Метрични зависимости между отсечки в окръжността, след нея е тема 9 Правоъгълен триъгълник . Нищо не пише за знанията, които ми трябват.

[Петър Евгениев]

Задачата е от тема 8 Подобие, част Метрични зависимости между отсечки в окръжността, след нея е тема 9 Правоъгълен триъгълник . Нищо не пише за знанията, които ми трябват.

Добре тогава значи сте взели всичко, което ти трябва просто си е по-трудничка задача.

[ева]

(нова идея) Нека АС=ВС=а,AB=2R, АМ=х,BD=у,MD=z
[tex]\frac{АВ.СО}{2}[/tex]=S(ABC)=[tex]\frac{AС.ВС}{2}[/tex] т.е. 2R.R=a.a [tex]\Rightarrow[/tex] R=[tex]\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex] (1)
AM е медиана [tex]\Rightarrow[/tex] АМ=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{2а^{2}+2.4R^{2}-a^{2}}[/tex] (вдигаме на квадрат)
[tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex]([tex]а^{2}[/tex]+8.[tex]\frac{а^{2}}{2}[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{a\sqrt{5}}{2}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]AMC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MBD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{х}{\frac{a}{2}}[/tex]=[tex]\frac{a}{у}[/tex] т.е. у=[tex]\frac{а^{2}}{2х}[/tex] (3) (зам.(2) в (3) )
у=[tex]\frac{а^{2}}{2а\frac{\sqrt{5}}{2}}[/tex] ;у=[tex]\frac{a\sqrt{5}}{5}[/tex] (4)
Отново ползваме подобието на [tex]\triangle[/tex]AMC и [tex]\triangle[/tex]MBD [tex]\frac{z}{\frac{a}{2}}[/tex]=[tex]\frac{у}{а}[/tex] т.е. z=[tex]\frac{у}{2}[/tex] (5) [зам.(4) в (5) ]
z=[tex]\frac{a\sqrt{5}}{10}[/tex] (6)
накрая [tex]\frac{AD}{BD}[/tex]=[tex]\frac{х+z}{у}[/tex] (виж (2),(4),(6) )=[tex]\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}+\frac{a\sqrt{5}}{10}}{\frac{a\sqrt{5}}{5}}[/tex]=[tex]\frac{\frac{a6\sqrt{5}}{10}}{\frac{a\sqrt{5}}{5}}[/tex]=3 [tex]\Rightarrow[/tex]
AD=3BD

Скрит текст: покажи

Само не ми казвай,че не сте взели формулата за медиана.

[Гост]

Само не разбирам как се получава на какво е равно АМ?

[ева]

В четиризначните таблици на стр.78 са форм.за медиани :
AM=[tex]m_{a }[/tex]-медиана в тр-к АВС
[tex]m_{a }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}[/tex] ,където b=AC=a,c=AB=2R,a=a

[Гост]

Разбрах, но не сме я взели. Благодаря на всички!