Задача с подобни триъгълници

[Гост]

Лицето на успоредник е 15 кв. см. Точка М лежи на AB. АC се пресича със DM в точка Р. Ако DP/PM=3/2 колко е лицето на тиъгълника AMP ?

[Гост]

2 кв.см. ли е отговора ?

[Гост]

да, но как го получи ?

[ева]

Нямам време,затова ще я напиша утре (преди 6:00 ч.) .
Два пъти използвам подобни триъгълници.

[ева]

[tex]\frac{DP}{PM}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex] ;DP=3х ,PM=2х;S(ABCD)=15 [tex]см.^{2}[/tex];т.Н,т.Т лежат на отс.АВ,като DH[tex]\bot[/tex]AB,PT[tex]\bot[/tex]AB

S(AMP)=?
S(AMP)=[tex]\frac{AM.PT}{2}[/tex] тогава АМ=? РТ=?
[tex]\triangle[/tex]AMP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]PCD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{CD}[/tex]=[tex]\frac{MP}{DP}[/tex] т.е. [tex]\frac{AM}{CD}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AM=[tex]\frac{2CD}{3}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]HMD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]TMP (1признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{DH}{PT}[/tex]=[tex]\frac{MD}{MP}[/tex] т.е. [tex]\frac{DH}{PT}[/tex]=[tex]\frac{MP+PD}{MP}[/tex] ; PT=[tex]\frac{DH.2х}{2х+3х}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] PT=[tex]\frac{2DH}{5}[/tex] (2)

((1) и (2) зам.във формулата за лицето) S=[tex]\frac{\frac{2CD}{3}.\frac{2DH}{5}}{2}[/tex]=[tex]\frac{2}{15}[/tex](CD.DH)=[tex]\frac{2}{15}[/tex]S(ABCD)=[tex]\frac{2}{15}[/tex].15=2
S=2 [tex]см.^{2}[/tex]