Геометрична Задача

[Гост]

През медицентър на триъгъллника АBC е посроена права която пресича AC в т.К и BC в т. М. Докажете че AK/KC+BM/MC=1

[Nathi123]

Нека АN=ВN т.е СN е медиана в триъг АВС; G-медиц. на триъгълника. Построяваме [tex]AA_{1 }\bot KM; BB_{1 }\bot KM; CC_{1 }\bot KM; NN_{1 }\bot KM[/tex].
[tex]\Rightarrow AA_{1 }||BB_{1 }||CC_{1 }||NN_{1 }\Rightarrow \triangle AA_{1 }K\approx \triangle CC_{1 }K\Rightarrow \frac{AK}{CK}=\frac{AA_{1 }}{CC_{1 }}[/tex] . Аналогично [tex]\triangle BB_{1 }\approx \triangle CC_{1 }M[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{BM}{MC} = \frac{BB_{1 }}{CC_{1 }} \Rightarrow A=\frac{AK}{KC}+\frac{BM}{MC}=\frac{AA_{1 }}{CC_{1 }}+\frac{BB_{1 }}{CC_{1 }}= \frac{AA_{1 }+BB_{1 }}{CC_{1 }}[/tex].
[tex]AA_{1 }B_{1 }B[/tex] е трапец с основи [tex]AA_{1 }[/tex] и [tex]BB_{1 }[/tex] , a [tex]NN_{1 }[/tex] е средната му отсечка .
[tex]\Rightarrow A = \frac{AA_{1 }+BB_{1 }}{CC_{1 }}=\frac{2 NN_{1 }}{CC_{1 }}[/tex]
[tex]\triangle NN_{1 }G\approx \triangle CGC_{1 }\Rightarrow \frac{NN_{1 }}{CC_{1 }}=\frac{N_{1 }G}{CG}=\frac{1}{2}\Rightarrow CC_{1 }=2NN_{1 }\Rightarrow A=1 .[/tex]