Задача върху Тригинометрични зависимости

[Гост]

Може ли малко помощ със задачи 58 и 59? Благодаря предварително!

[Петър Евгениев]

Задача 58. Вярвам, че за чертежа нямаш нужда от помощ стандартно означение.
Спускам височината от върха [tex]C[/tex], [tex]CH\bot AB[/tex]
Знаем, че в равнобедрен триъгълник височината между бедрата съвпада с медианата, ъглопловящата, симетралата.
От тук знаем ,че :[tex]AH=HB=10[/tex]
Синусът какво е в правоъгълен триъгълник?([tex]\triangle AHC[/tex]
$$sin\alpha=\frac{CH}{AC}=\frac{12}{13}$$
Срещулежащ катет върху хипотенуза!
Нека бедрото е [tex]b[/tex], височината към основата [tex]h[/tex]
$$...sin\alpha=\frac{CH}{AC}=\frac{12}{13} \Leftrightarrow \frac{h}{b}=\frac{12}{13} \Leftrightarrow h=\frac{12b}{13}$$
Питагорова теорема за [tex]\triangle AHC[/tex]
$$10^{2}+h^{2}=b^{2}$$
Но по-горе изразихме [tex]h=\frac{12b}{13}[/tex]
$$10^{2}+h^{2}=b^{2} \Rightarrow 100+\left(\frac{12b}{13}\right)^{2}=b^{2} \Rightarrow 100+\frac{144b^{2}}{169}=b^{2} |.169 \Rightarrow 100.169+144b^{2}=169b^{2} \Rightarrow 25b^{2}=100.169 \Rightarrow b^{2}=\frac{100.169}{25} \Rightarrow b=\frac{10.13}{5}=26 \Rightarrow \boxed{b=26}$$
От изразената височина:
$$...h=\frac{12b}{13}$$
Заместваме [tex]b=26 \Rightarrow h=\frac{12.26}{13}=24 \Rightarrow \boxed{h=24}[/tex]
Другата височина ще намерим като изразим лицето по два начина.
$$S_{ABC}=\frac{20h}{2}=10h=10.24=240$$
$$S_{ABC}=\frac{bh_{1}}{2}$$
Където [tex]h_{1}[/tex] е височината към [tex]b[/tex]
$$...S_{ABC}=\frac{26h_{1}}{2}$$
Изравняваме първия и втория начин за намиране на лицето:
$$240=13h_{1} $$
$$h_{1}=\frac{240}{13}$$

[S.B.]

Зад.58:[tex]\triangle[/tex]ABC,AC=BC;AB = 20; [tex]\angle[/tex]CAB = [tex]\alpha[/tex],sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{12}{23}[/tex];Търсят се бедрата и височините.
Построявам CH[tex]\bot[/tex]AB и разглеждам [tex]\triangle[/tex]AHC,правоъгълен,AH = [tex]\frac{AB}{2}[/tex] = 10; [tex]\angle[/tex]A = [tex]\alpha[/tex] и sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{12}{13}[/tex];
sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{CH}{CA}[/tex] и cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{АH}{CA}[/tex]; Tъй като не знаеш AC и CH не можеш да ползваш sin[tex]\alpha[/tex] и се налага да намериш cos[tex]\alpha[/tex] от основното тригонометрично тъждество:
[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = 1 от където cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\sqrt{1 - sin^{2}\alpha}[/tex] = [tex]\sqrt{1 - (\frac{12}{13)}^{2}}[/tex] = [tex]\frac{5}{13}[/tex] или cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{5}{13}[/tex]
cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{AH}{CA}[/tex] или [tex]\frac{5}{13}[/tex] = [tex]\frac{10}{AC}[/tex] от където AC = 26; sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{CH}{CA}[/tex] или [tex]\frac{12}{13}[/tex] = [tex]\frac{CH}{26}[/tex] от където CH = 24;
Нека BP[tex]\bot[/tex]AC ( BP е височината към бедрото AC); [tex]\triangle[/tex]BAP е правоъгълен и [tex]\frac{BP}{AB}[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] или [tex]\frac{BP}{20}[/tex] = [tex]\frac{12}{13}[/tex] от където BP[tex]\approx[/tex]18,46
Бедрата AC = BC = 26 ,а височините CH = 24 и BP = 18,46

[S.B.]

Зад.59: Означавам [tex]\angle[/tex]А = [tex]\alpha[/tex].Налага се да намериш от tg[tex]\alpha[/tex] - sin[tex]\alpha[/tex] и cos[tex]\alpha[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{4}{3} \\ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} sin\alpha = \frac{4}{3}.cos\alpha \\ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1\end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{16}{9}[/tex].[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = 1[tex]\Rightarrow[/tex][tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{9}{25}[/tex] от където cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex] и след заместване sin[tex]\alpha[/tex] [tex]\frac{4}{3}[/tex].[tex]\frac{3}{5}[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex] ;И така получихме sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex] и cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex];
Нека CH[tex]\bot[/tex]AB , от [tex]\triangle[/tex]АHC имаш :[tex]\frac{CH}{AC}[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] или [tex]\frac{CH}{15}[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex] от където CH = 12;
[tex]\frac{AH}{AC}[/tex] = cos[tex]\alpha[/tex] или [tex]\frac{АH}{15}[/tex] = [tex]\frac{3}{5}[/tex] от където AH = 9 [tex]\Rightarrow[/tex] AB = 18;
Нека BP[tex]\bot[/tex]AC ,AP височина към бедрото AC.От [tex]\triangle[/tex]ABP :[tex]\frac{BP}{AB}[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] или [tex]\frac{BP}{18}[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex] от къдто BP = 14,4
Получихме : Основата AB = 18; Височините Ch = 12 и BP = 14,4

[Гост]

Благодаря много!