Задача

[Гост]

1 зад. Катетите на правоъгълен триъгълник са 3 см и 4 см. На колко са равни дължините на медианите на триъгълника?
2 зад. Намерете страните AC и BC, ако периметърът на триъгълник ABC е 50 см и ъглополовящата CL дели AB на отсечки AL = 4 и BL = 6.
3 зад. Равнобедрен триъгълник с дължина на височината към основата 16см е вписан в окръжност с радиус 12,5 см. Намерете основата и бедрото.
4 зад. Даден е трапец ABCD (AB e успоредна на CD) с основи AB = 8 и CD = 4. През точка Т деляща бедрото BC в отношение 1:3, считано от т.C, е построена права успоредна на AB, която пресича AD в т.М. Дължината на МТ е равна на?

[KOPMOPAH]

1 зад. Катетите на правоъгълен триъгълник са 3 см и 4 см. На колко са равни дължините на медианите на триъгълника?

След като катетите са $3$ см и $4$ см е ясно, че хипотенузата е $5$ см, Медианата към нея е равна на половината хипотенуза, значи на $2,5$ см, а другите две медиани се намират по формулите $$ m_a=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}2$$ $$ m_b=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}2$$ В случая считаме $c$ за хипотенуза.

2 зад. Намерете страните AC и BC, ако периметърът на триъгълник ABC е 50 см и ъглополовящата CL дели AB на отсечки AL = 4 и BL = 6.

За решаването на тази задача редът на мисли е следният:
1. Ъглополовящата дели страна в отсечки, чиито дължини се отнасят, както прилежащите им страни;
2. След като $AL=4$, а $BL=6$, значи $AC=4x$, а $BC=6x$;
3. Периметърът е равен на $AB+BC+AC=4+6+6x+4x=50$, откъдето намираме $x=\cdots$, а оттам и страните $AC=4x=\cdots$ и $BC=6x=\cdots$

3 зад. Равнобедрен триъгълник с дължина на височината към основата 16см е вписан в окръжност с радиус 12,5 см. Намерете основата и бедрото.

Тук използваме:
1. По Питагорова теорема $b^2=\frac {a^2}4+16^2$, ако с $a$ сме отбелязали основата, а с $b$ - бедрото;
2. От формулите за лице на триъгълник $S=\frac {abc}{4R}$ и $S=\frac{a.h_a}2$ в конкретния случай имаме $\frac{ab^2}{4.12,5}=\frac{a.16}2$, откъдето намираме $b=\cdots$, a оттам - и $a$.

[ева]

4 зад.
Построй още 2 отсечки. Използвай средна отсечка в трапец.Мисля,че ще се справиш.
отг. 5

[Гост]

Може ли решението на 4 задача?

[S.B.]

Ето решението на зад.4:Трапец ABCD,AB II CD, AB =8,CD=4,т.Т[tex]\in[/tex]CD,така,че CT:TB = 1:3;
Построена е TM II AB ,като т.М[tex]\in[/tex]AD; Tърсим ТМ =?
Построявам права CP II AD,като т.P[tex]\in[/tex]AB; CP X TM в т.Q.Четриъг.APCD е успоредник (AP II CD и AD II PC) [tex]\Rightarrow[/tex]DC = MQ = AP =4
[tex]\triangle[/tex]PBC и [tex]\triangle[/tex]QTC са подобни [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{PB}{QT}[/tex] = [tex]\frac{BC}{TC}[/tex] = [tex]\frac{4}{1}[/tex] ; PB = AB - AP = 8 - 4 = 4; тогава [tex]\frac{PB}{QT}[/tex] = [tex]\frac{4}{QT}[/tex] = [tex]\frac{4}{1}[/tex] или QT = 1
MT = MQ + QT = 4 + 1 = 5

[ева]

4 зад. Ако сте учили подобни тр-ци,ти препоръчвам р-то на S.B.
Знаем СТ:ВТ=1:3,върху ВТ построяваме т.Р и т.К така ,че ВК=КР=РТ=ТС
В/у бедрото AD построяваме т.L, т.N, т.M така,че AL=LN=NM=MD (Построихме отс.LK,NP)
МТ=а=?
1.МТ е средна отс. в трапеца NPCD[tex]\Rightarrow[/tex] MT=[tex]\frac{NP+CD}{2}[/tex] т.е. а=[tex]\frac{NP+4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] NP=2a-4 (1)

2.NP е средна отс. в трапеца LKTM [tex]\Rightarrow[/tex] NP=[tex]\frac{LK+TM}{2}[/tex] (от (1) ) 2a-4=[tex]\frac{LK+a}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] LK=3a-8 (2)

3.LK е средна отс. в трапеца ABPN [tex]\Rightarrow[/tex] LK=[tex]\frac{AB+NP}{2}[/tex] (от (1) и (2) ) 3а-8=[tex]\frac{8+2а-4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 6а-16=4+2а ; 4а=20
а=MT=5

[S.B.]

4 зад. Ако сте учили подобни тр-ци,ти препоръчвам р-то на S.B.
Знаем СТ:ВТ=1:3,върху ВТ построяваме т.Р и т.К така ,че ВК=КР=РТ=ТС
В/у бедрото AD построяваме т.L, т.N, т.M така,че AL=LN=NM=MD (Построихме отс.LK,NP)
МТ=а=?
1.МТ е средна отс. в трапеца NPCD[tex]\Rightarrow[/tex] MT=[tex]\frac{NP+CD}{2}[/tex] т.е. а=[tex]\frac{NP+4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] NP=2a-4 (1)

2.NP е средна отс. в трапеца LKTM [tex]\Rightarrow[/tex] NP=[tex]\frac{LK+TM}{2}[/tex] (от (1) ) 2a-4=[tex]\frac{LK+a}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] LK=3a-8 (2)

3.LK е средна отс. в трапеца ABPN [tex]\Rightarrow[/tex] LK=[tex]\frac{AB+NP}{2}[/tex] (от (1) и (2) ) 3а-8=[tex]\frac{8+2а-4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 6а-16=4+2а ; 4а=20
а=MT=5

Чудесно решение!

[Гост]

[quote="ева"]4 зад. Ако сте учили подобни тр-ци,ти препоръчвам р-то на S.B.
Знаем СТ:ВТ=1:3,върху ВТ построяваме т.Р и т.К така ,че ВК=КР=РТ=ТС
В/у бедрото AD построяваме т.L, т.N, т.M така,че AL=LN=NM=MD (Построихме отс.LK,NP)
МТ=а=?
1.МТ е средна отс. в трапеца NPCD[tex]\Rightarrow[/tex] MT=[tex]\frac{NP+CD}{2}[/tex] т.е. а=[tex]\frac{NP+4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] NP=2a-4 (1)

2.NP е средна отс. в трапеца LKTM [tex]\Rightarrow[/tex] NP=[tex]\frac{LK+TM}{2}[/tex] (от (1) ) 2a-4=[tex]\frac{LK+a}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] LK=3a-8 (2)

3.LK е средна отс. в трапеца ABPN [tex]\Rightarrow[/tex] LK=[tex]\frac{AB+NP}{2}[/tex] (от (1) и (2) ) 3а-8=[tex]\frac{8+2а-4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 6а-16=4+2а ; 4а=20
а=MT=5[/quote)
Може ли помощ с тази задача: Продълженията на бедрата AD и BC на трапеца ABCD (AB е успоредна на CD) се пресичат в т.О, успоредна на основите му, която пресича продълженията на диагоналите в точки M и N. Ако АВ = 7см и CD = 3, то на колко е равна дължината на отсечката MN?

[Гост]

4 зад. Ако сте учили подобни тр-ци,ти препоръчвам р-то на S.B.
Знаем СТ:ВТ=1:3,върху ВТ построяваме т.Р и т.К така ,че ВК=КР=РТ=ТС
В/у бедрото AD построяваме т.L, т.N, т.M така,че AL=LN=NM=MD (Построихме отс.LK,NP)
МТ=а=?
1.МТ е средна отс. в трапеца NPCD[tex]\Rightarrow[/tex] MT=[tex]\frac{NP+CD}{2}[/tex] т.е. а=[tex]\frac{NP+4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] NP=2a-4 (1)

2.NP е средна отс. в трапеца LKTM [tex]\Rightarrow[/tex] NP=[tex]\frac{LK+TM}{2}[/tex] (от (1) ) 2a-4=[tex]\frac{LK+a}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] LK=3a-8 (2)

3.LK е средна отс. в трапеца ABPN [tex]\Rightarrow[/tex] LK=[tex]\frac{AB+NP}{2}[/tex] (от (1) и (2) ) 3а-8=[tex]\frac{8+2а-4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 6а-16=4+2а ; 4а=20
а=MT=5

Може ли помощ с тази задача: Продълженията на бедрата AD и BC на трапеца ABCD (AB е успоредна на CD) се пресичат в т.О, успоредна на основите му, която пресича продълженията на диагоналите в точки M и N. Ако АВ = 7см и CD = 3, то на колко е равна дължината на отсечката MN?

[ева]

През т.О е построена права m,която е успоредна на АВ.Нека правата АС пресича m в т.М,правата BD пресича m в т.N.
Да означим AD=х,DO=у,ON=a,OM=b
MN=a+b=?
[tex]\triangle[/tex]ABO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DCO (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AO}{DO}[/tex]=[tex]\frac{AB}{DC}[/tex] ; [tex]\frac{х+у}{у}[/tex]=[tex]\frac{7}{3}[/tex] ; [tex]\frac{х}{у}[/tex]+1=[tex]\frac{7}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{х}{у}[/tex]=[tex]\frac{4}{3}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ABD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DON (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AD}{DO}[/tex]=[tex]\frac{AB}{ON}[/tex] ;[tex]\frac{х}{у}[/tex]=[tex]\frac{7}{а}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]AMO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ACD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AO}{AD}[/tex]=[tex]\frac{MO}{CD}[/tex] ; [tex]\frac{х+у}{х}[/tex]=[tex]\frac{b}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 1+[tex]\frac{у}{х}[/tex]=[tex]\frac{b}{3}[/tex] (3) Съставяме с-ма:

[tex]\begin{array}{|l} \frac{х}{у}=\frac{4}{3} (зам.в другите 2 ур-я) \\ \frac{х}{у}=\frac{7}{а}\\1+\frac{у}{х}=\frac{b}{3}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{4}{3}=\frac{7}{a} \\ 1+\frac{3}{4}=\frac{b}{3} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a=\frac{21}{4} \\ b=\frac{21}{4}\end{array}[/tex]

MN=a+b=[tex]\frac{21}{4}[/tex]+[tex]\frac{21}{4}[/tex]=[tex]\frac{2.21}{4}[/tex]=[tex]\frac{21}{2}[/tex]