Хордата AB пресича диаметъра MN на окръжност с център O

[dobarden]

1 зад. Хордата AB пресича диаметъра MN на окръжност с център O в точка P под прав ъгъл. Отсечката AB e 8cm, и MP:PN = 4:1. Дължината на радиуса на окръжност е равен на?

[S.B.]

MN - диаметър, AB =8 ,AB X MN = т.P и MN[tex]\bot[/tex]AB [tex]\Rightarrow[/tex] АP = PB = 4
МP : PN = 4 : 1[tex]\Rightarrow[/tex] MP = 4x и PN = x; следователно MN = 5x; R = [tex]\frac{MN}{2}[/tex] = [tex]\frac{5x}{2}[/tex] = 2,5x;
Нека т.О е центъра на окръжността .Тогава ОN = OP + PN = 2,5x (ON e радиус)
Раьглеждаш [tex]\triangle[/tex]OPB: [tex]\angle[/tex]OPB = 90[tex]^\circ[/tex], OP =2,5x - x= 1,5x,OB = R = 2,5x,PB = 4;
Прилагаш Питагорова теорема:[tex]ОB^{2}[/tex] = [tex]PB^{2}[/tex] + [tex]OP^{2}[/tex] или [tex](2,5х)^{2}[/tex] = [tex]4^{2}[/tex] + [tex](1,5х)^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 4[tex]x^{2}[/tex] = 16 или [tex]x^{2}[/tex] = 4
от където [tex]x_{1 }[/tex] =2,[tex]x_{2 }[/tex] = -2<0
R= 2,5x = 2,5.2 = 5

[Гост]

MN - диаметър, AB =8 ,AB X MN = т.P и MN[tex]\bot[/tex]AB [tex]\Rightarrow[/tex] АP = PB = 4
МP : PN = 4 : 1[tex]\Rightarrow[/tex] MP = 4x и PN = x; следователно MN = 5x; R = [tex]\frac{MN}{2}[/tex] = [tex]\frac{5x}{2}[/tex] = 2,5x;
Нека т.О е центъра на окръжността .Тогава ОN = OP + PN = 2,5x (ON e радиус)
Раьглеждаш [tex]\triangle[/tex]OPB: [tex]\angle[/tex]OPB = 90[tex]^\circ[/tex], OP =2,5x - x= 1,5x,OB = R = 2,5x,PB = 4;
Прилагаш Питагорова теорема:[tex]ОB^{2}[/tex] = [tex]PB^{2}[/tex] + [tex]OP^{2}[/tex] или [tex](2,5х)^{2}[/tex] = [tex]4^{2}[/tex] + [tex](1,5х)^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 4[tex]x^{2}[/tex] = 16 или [tex]x^{2}[/tex] = 4
от където [tex]x_{1 }[/tex] =2,[tex]x_{2 }[/tex] = -2<0
R= 2,5x = 2,5.2 = 5

Може ли и тези задачи: Страните на триъгълник ABC имат дължини AB = 7 и BC = 9. BL е вътрешната ъглополовяща на ъгъл B. Какви са дължините на отсечките AL и CL?
В равнобедрен триъгълник ABC AB =6, a AC=BC=10 е вписана окръжност. На колко е равно разстоянието между допирните точки на окръжността с бедрата на триъгълника?

[S.B.]

Първата задача: От свойството на ъглополовящата имате [tex]\frac{АB}{BC}[/tex] = [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] или [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и до тук,защото не сте преписали точно условието.Там със сигурност е казано на колко е равна АC,но Вие сте го пропуснали.Ако е казано,че примерно AC = a тогава AL = x, LC = a - x се заместват в пропорцията и става:[tex]\frac{х}{а - х}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и т.н.
Втората задача:[tex]\triangle[/tex]АВС, окръжността се допира в т.М до АВ,в т.N до ВС и в т.P до АС;АВ=6,АС = ВС = 10;
От свойствата на външните допирателни към окръжност имате: AM = AP = 3 и MB = BN = 3 ( защото т.М е средата на АВ),тогава СP = CN = 7 (защото 3 + 7 =10)
[tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]PNC са подобни и [tex]\frac{PN}{AB}[/tex] = [tex]\frac{AC}{PC}[/tex] или [tex]\frac{PN}{6}[/tex] = [tex]\frac{7}{10}[/tex] от където PN = 4,2

[Гост]

Първата задача: От свойството на ъглополовящата имате [tex]\frac{АB}{BC}[/tex] = [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] или [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и до тук,защото не сте преписали точно условието.Там със сигурност е казано на колко е равна АC,но Вие сте го пропуснали.Ако е казано,че примерно AC = a тогава AL = x, LC = a - x се заместват в пропорцията и става:[tex]\frac{х}{а - х}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и т.н.
Втората задача:[tex]\triangle[/tex]АВС, окръжността се допира в т.М до АВ,в т.N до ВС и в т.P до АС;АВ=6,АС = ВС = 10;
От свойствата на външните допирателни към окръжност имате: AM = AP = 3 и MB = BN = 3 ( защото т.М е средата на АВ),тогава СP = CN = 7 (защото 3 + 7 =10)
[tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]PNC са подобни и [tex]\frac{PN}{AB}[/tex] = [tex]\frac{AC}{PC}[/tex] или [tex]\frac{PN}{6}[/tex] = [tex]\frac{7}{10}[/tex] от където PN = 4,2

Първа задача е вярно написана, не трябва ли да се използва теорема на Талес? (не знам, просто питам)

[S.B.]

Ако е така както пише,че BL е ъглополовяща,се използва свойството на ъглополовящата.Или се търси отношението на AL и BL,а не дължините им или е пропусната дължината на АC.

[Петър Евгениев]

Първата задача: От свойството на ъглополовящата имате [tex]\frac{АB}{BC}[/tex] = [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] или [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и до тук,защото не сте преписали точно условието.Там със сигурност е казано на колко е равна АC,но Вие сте го пропуснали.Ако е казано,че примерно AC = a тогава AL = x, LC = a - x се заместват в пропорцията и става:[tex]\frac{х}{а - х}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и т.н.
Втората задача:[tex]\triangle[/tex]АВС, окръжността се допира в т.М до АВ,в т.N до ВС и в т.P до АС;АВ=6,АС = ВС = 10;
От свойствата на външните допирателни към окръжност имате: AM = AP = 3 и MB = BN = 3 ( защото т.М е средата на АВ),тогава СP = CN = 7 (защото 3 + 7 =10)
[tex]\triangle[/tex]ABC и [tex]\triangle[/tex]PNC са подобни и [tex]\frac{PN}{AB}[/tex] = [tex]\frac{AC}{PC}[/tex] или [tex]\frac{PN}{6}[/tex] = [tex]\frac{7}{10}[/tex] от където PN = 4,2

Първа задача е вярно написана, не трябва ли да се използва теорема на Талес? (не знам, просто питам)

Теоремата на Талес и подобието на триъгълници ми то същото само дето подобието на триъгълници е по-вървежно.
Аз също бих тръгнал с подобие, ако знаеш подобието всичко ти е точно, а че може с Талес, може да ама 'кво от това.
[tex]\rule{8cm}{0.4pt}[/tex]
Ако не се лъжа Талес се учи точно преди подобието, за загравка
Лека вечер!
eddit: Даже в случая, за който питаш директно се ползва свойството на ъглопловящата, което откъде иде?

[Гост]

Ако не се лъжа Талес се учи точно преди подобието, за загравка
Лека вечер!

[/quote]
Може ли решение?

[Гост]

[quote="S.B."]Първата задача: От свойството на ъглополовящата имате [tex]\frac{АB}{BC}[/tex] = [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] или [tex]\frac{AL}{CL}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и до тук,защото не сте преписали точно условието.Там със сигурност е казано на колко е равна АC,но Вие сте го пропуснали.Ако е казано,че примерно AC = a тогава AL = x, LC = a - x се заместват в пропорцията и става:[tex]\frac{х}{а - х}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] и т.н.
Може ли помощ и с тази задача: Продълженията на бедрата AD и BC на трапеца ABCD (AB || CD) се пресичат в точка О. Построена е права през т.О, успоредна на основите му, която пресича продълженията на диагоналите в точки М и N. Ако AB = 7 и CD = 3, то дължината на отсечката МN е равна на?

[ева]

Тази задача е решена на 25.май 2 018г. в 03:19 ч. (последната зад.)
Трябва да отвориш -Задача,пратена от Гост на 22.май 2 018г.в 21:49 ч.

[Гост]

През точка А от окръжност с център О са построени диаметър АВ и хорда АС. Ако ъгъл АОС - ъгъл ВОС = 68°,
намерете ъглите на ∆АВС
Благодаря предварително!

[Гост]

През точка А от окръжност с център О са построени диаметър АВ и хорда АС. Ако ъгъл АОС - ъгъл ВОС = 68°,
намерете ъглите на ∆АВС
Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=37&t=23926#p97748