Задача за 9ти клас

[Гост]

Радиусът на описаната около равнобедрен триъгълник е 4см, а ъгълът при основата е 30°. Намерете дължината на бедрото, основата и радиуса на вписаната окръжност.

[Davids]

Ако обозначим височината към основата с $h$, то от свойството на правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса имаме, че бедрото $b = 2h$. Тогава по Питагорова теорема половинката от основата е $\sqrt{3}h$, следователно цялата основа е $2\sqrt{3}h$. Изразяваме лицето по два начина: чрез стандартната форума (основа по височината към нея върху две) и чрез формулата с радиус на описаната окръжност:
$S = \frac{2\sqrt{3}h.h}{2} = \frac{2h.2h.2\sqrt{3}h}{4.4}$
Откъдето и $h = 2$, а оттам бедрото $b = 2h = 4$, а основата $c = 2\sqrt{3}h = 4\sqrt{3}$.
Тогава лицето е $S = \sqrt{3}h^2 = 4\sqrt{3}$, откъдето и с помощта на формулата с радиус на вписаната ще намерим именно него:
$p = \frac{2h + 2h + 2\sqrt{3}h}{2} = (2 + \sqrt{3})h = 4 + 2\sqrt{3}$
Оттам и $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{4\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} = ... = 4\sqrt{3} - 6$

П.С. Може и да съм сбъркал някъде със сметките, но идеята си остава същата

[S.B.]

Втори начин:
Около равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ABC е описана окръжност.CH [tex]\bot[/tex]AB e височина.[tex]\angle[/tex]HBC =30[tex]^\circ[/tex],следователно [tex]\angle[/tex]BCH = 60[tex]^\circ[/tex]Продължаваш CH докато пресече окръжността в т.D.Тогава CD е диаметър и [tex]\triangle[/tex]CDB e правоъгълен,CD= 2R = 8,[tex]\angle[/tex]DCB = 60[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]CDB = 30[tex]^\circ[/tex]
Бедрото CB лежи срещу 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] CB = [tex]\frac{CD}{2}[/tex] или CB = 4;В [tex]\triangle[/tex]CBH CH лежи срещу 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] CH = [tex]\frac{BC}{2}[/tex] или CH = 2;
Връщам се в [tex]\triangle[/tex]CDB: HB се явява височина към хипотенузата CD [tex]\Rightarrow[/tex][tex]HB^{2}[/tex] = CH.HD ,CH = 2, HD = 8 - 2 =6 [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]HB^{2}[/tex] = 2.6 или HB = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] ; АB = 2.HB или AB = 4[tex]\sqrt{3}[/tex]
Намерихме бедрата:АС = ВС = 4,височината CH = 2 и основата AB = 4[tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex] = [tex]\frac{4\sqrt{3}.2}{2}[/tex] или [tex]S_{ABC }[/tex] = 4[tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABC }[/tex] = p.r = [tex]\frac{8 + 4\sqrt{3}}{2}[/tex].r или [tex]S_{ABC }[/tex] = 2(2 + [tex]\sqrt{3}[/tex]).r
Получихме :2(2 +[tex]\sqrt{3}[/tex]).r = 4[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r = [tex]\frac{4\sqrt{3}}{2(2 + \sqrt{3})}[/tex] = [tex]\frac{2\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 -3}[/tex] = 4[tex]\sqrt{3}[/tex] -6