Отговори на задача

[Гост]

В правоъгълен триъгълник катетите са 9см и 4см. Намерете медианата, височината и ъглополовящата към хипотенузата.
Интересувам се само от отговорите. Реших я, но получих много големи числа и корени.

[Davids]

$m_c = \frac{\sqrt{97}}{2}$
$h_c = \frac{36\sqrt{97}}{97}$
$l_c = \frac{36\sqrt{2}}{13}$

[Гост]

$m_c = \frac{\sqrt{97}}{2}$
$h_c = \frac{36\sqrt{97}}{97}$
$l_c = \frac{12\sqrt{2}}{5}$

Как намери lc?

[Davids]

Как намери lc?

Скивни тази формулка тук. Адаптирано в частния случай за правоъгълен триъгълник тя изглежда така:
$l_c = \frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$
Каза че искаш само стойностите, това ти е най-ефективния начин да ги намериш. А решение като за девети клас може да заимстваш например оттук
П.П. Ще ме прощаваш, объркал съм си аритметиката от телефона и съм писал малко глупости... коригирах си стойността на дължината на ъглополовящата

[Гост]

Скивни тази формулка тук. Адаптирано в частния случай за правоъгълен триъгълник тя изглежда така:
$l_c = \frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$
Каза че искаш само стойностите, това ти е най-ефективния начин да ги намериш. А решение като за девети клас може да заимстваш например оттук
П.П. Ще ме прощаваш, объркал съм си аритметиката от телефона и съм писал малко глупости... коригирах си стойността на дължината на ъглополовящата

Как да използвам това, тази формула не сме я учили

[Петър Евгениев]

Формулите се учат 10 клас, но ортогоналните проекции в правоъгълен триъглник се учат точно при теб.
Медианата най-лесно се намира. Понеже знаеш двата катета прилагаш Питагорова теорема: [tex]4^{2}+9^{2}=AB^{2} \Rightarrow AB=\sqrt{97}[/tex]
Медианата към хипотенузата е половината от нея [tex]m_{c}=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{97}}{2}[/tex]
Височината. Понеже знаем, че всеки катет е средногеометричен на ортогоналната си проекция и хипотенузата.
$$AC^{2}=AH.AB$$
$$BC^{2}=BH.AB$$
То така намирам първо ортогоналните проекции на катетите([tex]AH,BH[/tex]) и чрез тях намирам височината, защото както знаеш, височината е средногеометрична на двете ортогонални проекции.
$$...AC^{2}=AH.AB \Rightarrow 16=AH.\sqrt{97} \Rightarrow AH=\frac{16}{\sqrt{97}}$$
$$...BC^{2}=BH.AB \Rightarrow 81=BH.\sqrt{97} \Rightarrow BH=\frac{81}{\sqrt{97}}$$
Ето и височината средногеометрична на проекциите на катетите:
$$h^{2}=AH.BH \Rightarrow h^{2}=\frac{16}{\sqrt{97}}.\frac{81}{\sqrt{97}}=\frac{16.81}{97}$$
$$h=\frac{4.9}{\sqrt{97}}=\frac{36\sqrt{97}}{97}$$
Ето сега и ъглополовящата накрая ще я намерим от правоъгълния триъгълник между височината и ъглопловящата.
Снимката, която прати са обяснили доста добре как се намира ъглополовящата.
Все пак ще напиша и аз.
От свойството на ъглополовящата.
$$\frac{AL}{BL}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{9}$$
Какво ни казва това?
Казва ни, че: [tex]AL=4\lambda, BL=9\lambda[/tex], където [tex]\lambda[/tex] е просто някаква константа.(не го мисли толко това)
Превод: [tex]\lambda=нещо[/tex]
Но знаем ,че :[tex]AL+BL=AB \Rightarrow AL+BL=\sqrt{97}[/tex]
$$4\lambda+9\lambda=\sqrt{97}$$
$$13\lambda=\sqrt{97}$$
$$\lambda=\frac{\sqrt{97}}{13}$$
Ето какво нещо е [tex]\lambda[/tex]
Сега се връщаме горе и заместваме където има [tex]\lambda[/tex].
[tex]AL=4\lambda=4.\frac{\sqrt{97}}{13}[/tex]
[tex]BL=9\lambda=9.\frac{\sqrt{97}}{13}[/tex]
Сега обаче по-големия катет е [tex]BC=9[/tex] значи [tex]l_{c}\cap AB=L[/tex], [tex]L[/tex] лежи отдясно на [tex]H[/tex].
Демек [tex]\triangle HCL[/tex]
Знам [tex]CH=h[/tex] само трябва да намеря [tex]HL[/tex] и ще мога да приложа Питагорова теорема и да намеря височината [tex]CL=l_{c}[/tex]
[tex]HL=AL-AH[/tex], знаем [tex]AH[/tex], [tex]...AH=\frac{16}{\sqrt{97}}[/tex] и [tex]AL[/tex] знаем [tex]...AL=...4.\frac{\sqrt{97}}{13}[/tex]
$$HL=4.\frac{\sqrt{97}}{13}-\frac{16}{\sqrt{97}}=\frac{180\sqrt{97}}{1261}$$
Питагорова теорема за този триъглник:
$$HL^{2}+HC^{2}=CL^{2}$$
Болезнено заместване , но намираш си горе заместваш и се получава:
$$l_{c}^{2}=\frac{180^{2}.97}{(1261)^{2}}+\frac{36^{2}.97}{97^{2}}$$
Оказва се, че [tex]1261=13.97[/tex]
$$l_{c}^{2}=\frac{2^{2}.9^{2}.10^{2}.97}{13^{2}.97^{2}}+\frac{4.9.97}{97^{2}}$$
$$l_{c}^{2}=\frac{4.9.97}{97^{2}}\left(\frac{9.10^{2}}{13^{2}}+1\right)$$
$$l_{c}=\frac{6}{13}.\sqrt{\frac{1069}{97}}$$
Може да имам грешка.

[Гост]

Формулите се учат 10 клас, но ортогоналните проекции в правоъгълен триъглник се учат точно при теб.
Медианата най-лесно се намира. Понеже знаеш двата катета прилагаш Питагорова теорема: [tex]4^{2}+9^{2}=AB^{2} \Rightarrow AB=\sqrt{97}[/tex]
Медианата към хипотенузата е половината от нея [tex]m_{c}=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{97}}{2}[/tex]
Височината. Понеже знаем, че всеки катет е средногеометричен на ортогоналната си проекция и хипотенузата.
$$AC^{2}=AH.AB$$
$$BC^{2}=BH.AB$$
То така намирам първо ортогоналните проекции на катетите([tex]AH,BH[/tex]) и чрез тях намирам височината, защото както знаеш, височината е средногеометрична на двете ортогонални проекции.
$$...AC^{2}=AH.AB \Rightarrow 16=AH.\sqrt{97} \Rightarrow AH=\frac{16}{\sqrt{97}}$$
$$...BC^{2}=BH.AB \Rightarrow 81=BH.\sqrt{97} \Rightarrow BH=\frac{81}{\sqrt{97}}$$
Ето и височината средногеометрична на проекциите на катетите:
$$h^{2}=AH.BH \Rightarrow h^{2}=\frac{16}{\sqrt{97}}.\frac{81}{\sqrt{97}}=\frac{16.81}{97}$$
$$h=\frac{4.9}{\sqrt{97}}=\frac{36\sqrt{97}}{97}$$
Ето сега и ъглополовящата накрая ще я намерим от правоъгълния триъгълник между височината и ъглопловящата.
Снимката, която прати са обяснили доста добре как се намира ъглополовящата.
Все пак ще напиша и аз.
От свойството на ъглополовящата.
$$\frac{AL}{BL}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{9}$$
Какво ни казва това?
Казва ни, че: [tex]AL=4\lambda, BL=9\lambda[/tex], където [tex]\lambda[/tex] е просто някаква константа.(не го мисли толко това)
Превод: [tex]\lambda=нещо[/tex]
Но знаем ,че :[tex]AL+BL=AB \Rightarrow AL+BL=\sqrt{97}[/tex]
$$4\lambda+9\lambda=\sqrt{97}$$
$$13\lambda=\sqrt{97}$$
$$\lambda=\frac{\sqrt{97}}{13}$$
Ето какво нещо е [tex]\lambda[/tex]
Сега се връщаме горе и заместваме където има [tex]\lambda[/tex].
[tex]AL=4\lambda=4.\frac{\sqrt{97}}{13}[/tex]
[tex]BL=9\lambda=9.\frac{\sqrt{97}}{13}[/tex]
Сега обаче по-големия катет е [tex]BC=9[/tex] значи [tex]l_{c}\cap AB=L[/tex], [tex]L[/tex] лежи отдясно на [tex]H[/tex].
Демек [tex]\triangle HCL[/tex]
Знам [tex]CH=h[/tex] само трябва да намеря [tex]HL[/tex] и ще мога да приложа Питагорова теорема и да намеря височината [tex]CL=l_{c}[/tex]
[tex]HL=AL-AH[/tex], знаем [tex]AH[/tex], [tex]...AH=\frac{16}{\sqrt{97}}[/tex] и [tex]AL[/tex] знаем [tex]...AL=...4.\frac{\sqrt{97}}{13}[/tex]
$$HL=4.\frac{\sqrt{97}}{13}-\frac{16}{\sqrt{97}}=\frac{180\sqrt{97}}{1261}$$
Питагорова теорема за този триъглник:
$$HL^{2}+HC^{2}=CL^{2}$$
Болезнено заместване , но намираш си горе заместваш и се получава:
$$l_{c}^{2}=\frac{180^{2}.97}{(1261)^{2}}+\frac{36^{2}.97}{97^{2}}$$
Оказва се, че [tex]1261=13.97[/tex]
$$l_{c}^{2}=\frac{2^{2}.9^{2}.10^{2}.97}{13^{2}.97^{2}}+\frac{4.9.97}{97^{2}}$$
$$l_{c}^{2}=\frac{4.9.97}{97^{2}}\left(\frac{9.10^{2}}{13^{2}}+1\right)$$
$$l_{c}=\frac{6}{13}.\sqrt{\frac{1069}{97}}$$
Може да имам грешка.

И аз получавам такива големи числа за ъглополовящата и не знам как Davids получава това

[Davids]

...
$$l_{c}^{2}=\frac{2^{2}.9^{2}.10^{2}.97}{13^{2}.97^{2}}+\frac{4.9.97}{97^{2}}$$
$$l_{c}^{2}=\frac{4.9.97}{97^{2}}\left(\frac{9.10^{2}}{13^{2}}+1\right)$$
$$l_{c}=\frac{6}{13}.\sqrt{\frac{1069}{97}}$$
Може да имам грешка.

Тук някъде се чупи телефона и да, имаш грешка Ако искате по този начин да е, с удоволствие (но просто е самоубийствен при тия кофти числа). Започваме откъдето са се объркали сметките по-горе. Така, височината е $h_c = \frac{36\sqrt{97}}{97}$, а отсечката $HL = \frac{180\sqrt{97}}{1261}$

Правим Питагорова теорема, но леко ще се облекчим:
$l_c^2 = \frac{36^2.\cancel{97}}{97^\cancel{2}} + \frac{180^2.97}{1261^2}$
$= \frac{6^4}{97} + \frac{180^2.\cancel{97}}{13^2.97^\cancel{2}} = \frac{6^4.13^2 + 180^2}{13^2.97}$

Тук съобразяваме, че $180 = 36.5 = 6^2.5$ и така
$l_c^2 = \frac{6^4.13^2 + (6^2.5)^2}{13^2.97} = \frac{6^4(13^2 + 25)}{13^2.97}$

Смятаме, че $13^2 + 25 = 169 + 25 = 194 = 2.97$, заместваме и получаваме:

$l_c^2 = \frac{6^4.2.\cancel{97}}{13^2.\cancel{97}} = \frac{6^4.2}{13^2}$

И сега, след като си улеснихме живота, задоволно получаваме отговора:
$l_c = \frac{36\sqrt{2}}{13}$

__________________________

Обаче аз си оставам фен на варианта с формулата $l_c = \frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$ и предпочитам на мястото на един деветокласник с тази задача, да я изведа (става много по-безболезнено от горните сметки по заучения начин).
Знаем, че разстоянията от всяка точка на ъглополовящата до раменете на ъгъла, който разполовява, са равни. Тогава, ако $CL$ е височината, можем да спуснем $LL_1 \bot AC$ и $LL_2 \bot BC$, които ще са равни. Тогава имаме $CL_1LL_2$, който е квадрат със страна, която ще означим с $x$, а нашата ъглополовяща се явява един хубав диагонал в този квадрат, т.е. е равна на $l_c = \sqrt{2}x$

Скрит текст: покажи

По Питагорова теорема лесно се намира, важи за всеки квадрат: че диагоналът му е равен на $\sqrt{2}$ по страната му.

Сега остана да разгледаме едно подобие:
$\Delta ALL_1 \sim \Delta LBL_2$, от което:

$\frac{AL_1}{LL_2} = \frac{LL_1}{BL_2}$
Заместваме:

$\frac{b-x}{x} = \frac{x}{a-x}$
$x^2 = ab - ax - bx + x^2$
$\Rightarrow x = \frac{ab}{a + b}$

И за ъглополовящата остана $l_c = \sqrt{2}x = \frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$

Дано да ти стана ясно и да остане като алтернатива на сметкаджийството от учебника

[Петър Евгениев]

...
$$l_{c}^{2}=\frac{2^{2}.9^{2}.10^{2}.97}{13^{2}.97^{2}}+\frac{4.9.97}{97^{2}}$$
$$l_{c}^{2}=\frac{4.9.97}{97^{2}}\left(\frac{9.10^{2}}{13^{2}}+1\right)$$
$$l_{c}=\frac{6}{13}.\sqrt{\frac{1069}{97}}$$
Може да имам грешка.

Тук някъде се чупи телефона и да, имаш грешка Ако искате по този начин да е, с удоволствие (но просто е самоубийствен при тия кофти числа). Започваме откъдето са се объркали сметките по-горе. Така, височината е $h_c = \frac{36\sqrt{97}}{97}$, а отсечката $HL = \frac{180\sqrt{97}}{1261}$

Правим Питагорова теорема, но леко ще се облекчим:
$l_c^2 = \frac{36^2.\cancel{97}}{97^\cancel{2}} + \frac{180^2.97}{1261^2}$
$= \frac{6^4}{97} + \frac{180^2.\cancel{97}}{13^2.97^\cancel{2}} = \frac{6^4.13^2 + 180^2}{13^2.97}$

Тук съобразяваме, че $180 = 36.5 = 6^2.5$ и така
$l_c^2 = \frac{6^4.13^2 + (6^2.5)^2}{13^2.97} = \frac{6^4(13^2 + 25)}{13^2.97}$

Смятаме, че $13^2 + 25 = 169 + 25 = 194 = 2.97$, заместваме и получаваме:

$l_c^2 = \frac{6^4.2.\cancel{97}}{13^2.\cancel{97}} = \frac{6^4.2}{13^2}$

И сега, след като си улеснихме живота, задоволно получаваме отговора:
$l_c = \frac{36\sqrt{2}}{13}$

__________________________

Обаче аз си оставам фен на варианта с формулата $l_c = \frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$ и предпочитам на мястото на един деветокласник с тази задача, да я изведа (става много по-безболезнено от горните сметки по заучения начин).
Знаем, че разстоянията от всяка точка на ъглополовящата до раменете на ъгъла, който разполовява, са равни. Тогава, ако $CL$ е височината, можем да спуснем $LL_1 \bot AC$ и $LL_2 \bot BC$, които ще са равни. Тогава имаме $CL_1LL_2$, който е квадрат със страна, която ще означим с $x$, а нашата ъглополовяща се явява един хубав диагонал в този квадрат, т.е. е равна на $l_c = \sqrt{2}x$

Скрит текст: покажи

По Питагорова теорема лесно се намира, важи за всеки квадрат: че диагоналът му е равен на $\sqrt{2}$ по страната му.

Сега остана да разгледаме едно подобие:
$\Delta ALL_1 \sim \Delta LBL_2$, от което:

$\frac{AL_1}{LL_2} = \frac{LL_1}{BL_2}$
Заместваме:

$\frac{b-x}{x} = \frac{x}{a-x}$
$x^2 = ab - ax - bx + x^2$
$\Rightarrow x = \frac{ab}{a + b}$

И за ъглополовящата остана $l_c = \sqrt{2}x = \frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$

Дано да ти стана ясно и да остане като алтернатива на сметкаджийството от учебника

"АЗ НЕ ИСКАМ" по този начин, а домашното на детето е предназначено да се реши по този начин да сме наясно.

[Петър Евгениев]

С моя пост целях да помогна на ученика да си напише домашното както е изискано от него, и той коректно прати снимка на учебника си с основна за урока решена задача и затова се заех сериозно да пиша, защото рядко има редовни ученици искащи помощ тук!
Davids е прав! Аз също бих използвал формулите, ако не беше за ученик от 9 клас.
След като изясних това самоцитирам се от поста си по-горе:
$$l_{c}^{2}=\frac{36^{2}.97}{97^{2}}+\frac{180^{2}.97}{(1261)^{2}}$$
От толко писане не съм съкратил ВЕДНАГА тук, затова ето сега се поправям:
$$l_{c}^{2}=\frac{36^{2}.\cancel{97}}{97^{\cancel{2}}}+\frac{180^{2}.97}{(1261)^{2}}$$
Тъй като [tex]1261=97.13[/tex]
$$l_{c}^{2}=\frac{36^{2}.\cancel{97}}{97^{\cancel{2}}}+\frac{180^{2}.97}{(1261)^{2}}$$
$$l_{c}^{2}=\frac{36^{2}}{97}+\frac{180^{2}.\cancel{97}}{13^{2}.97^{\cancel{2}}}=\frac{36^{2}}{97}+\frac{180^{2}}{13^{2}.97}$$
$$l_{c}^{2}=\frac{36^{2}.13^{2}+180^{2}}{97.13^{2}}$$
$$l_{c}^{2}=\frac{4^{2}.9^{2}.13^{2}+4^{2}.9^{2}.5^{2}}{97.13^{2}}=\frac{4^{2}.9^{2}}{13^{2}}\sqrt{\frac{\cancel{194}}{\cancel{97}}}$$
$$l_{c}=\frac{4.9}{13}\sqrt{\frac{\cancel{194}}{\cancel{97}}}=\frac{36\sqrt{2}}{13}$$
Колкото и да са мъчителни задачите, те са необходими за тренирането на рационалното смятане в ирационалната джунгла от сметки.
Лека вечер от мен!

[Гост]

Благодаря на всички за отделеното време!