Задача за 9ти клас

[Гост]

Диагоналите на ромб са 6 см и 8 см. Намерете стойностите на тригонометричните функции на острия му ъгъл [tex]\alpha[/tex].

[Davids]

Нека пресечната точка на диагоналите му е $O$, тогава $\Delta ABO$ ще е правоъгълен с катети - половинките от диагоналите, т.е. 3 и 4. По Питагорова теорема хипотенузата (също страна на ромба) става 5 и вече можеш да намериш тригонометричните функции на половинката от острия ъгъл:
$sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{5}$
$cos\frac{\alpha}{2} = \frac{4}{5}$

И търсиш на целия ъгъл:
$sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = 2.\frac{3.4}{5.5} = \frac{24}{25}$
$cos\alpha = 2cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 = \frac{2.16 - 25}{25} = \frac{7}{25}$
И нататък вече можеш сам

[Петър Евгениев]

Нека пресечната точка на диагоналите му е $O$, тогава $\Delta ABO$ ще е правоъгълен с катети - половинките от диагоналите, т.е. 3 и 4. По Питагорова теорема хипотенузата (също страна на ромба) става 5 и вече можеш да намериш тригонометричните функции на половинката от острия ъгъл:
$sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{5}$
$cos\frac{\alpha}{2} = \frac{4}{5}$

И търсиш на целия ъгъл:
$sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = 2.\frac{3.4}{5.5} = \frac{24}{25}$
$cos\alpha = 2cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 = \frac{2.16 - 25}{25} = \frac{7}{25}$
И нататък вече можеш сам

Тригонометрията в 9 клас не е на ниво половинка ъгъл още имат само основното тригонометрично тъждество [tex]sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1[/tex] и основните дефиниции.
Ето решение за теб.
Пускаш височината и [tex]sin\angle DAB=\frac{BH}{AB}=\frac{h}{5}[/tex]Директно дефиницията за синус катет върху хипотенуза в правоъгълен триъгълник [tex]\triangle BAH[/tex]
9 клас има основна задача, която доказва(без тригонометрия), че лицето на ромб е равно на:(Казах без тригонометрия, защото после 10 клас ще учиш за всеки четириъгълник подобна формула само, че с малко тригонометрия)
$$S_{ABDC}=\frac{DB.AC}{2}=\frac{3.4}{2}=6$$
И лицето на ромба също знаеш от 6/7 клас, че се намира и по този начин:
$$S_{ABCD}=a.h=5h$$
Но намерихме, че лицето е [tex]6cm^{2}[/tex]
Изравняваме двата начина:
$$S=6=5h$$
$$h=\frac{6}{5}$$
Така намерихме височината и се връщаме горе за синуса на ъгъл търсения(остър ъгъл)
[tex]sin\angle DAB=\frac{BH}{AB}=\frac{h}{5}[/tex]
Заместваш височината, защото току що я намерихме и става:
$$sin\angle DAB=\frac{h}{5}=\frac{6/5}{5}=\frac{6}{25}$$

$$***$$
Острия ъгъл е ъгъла срещу по-малкия диагонал.