Задачи

[Гост]

1 зад. Височината към хипотенузата на правоъгълен триъгълник я дели на части 4 см и 12 см. Намерете катетите и височината към хипотенузата.

2 зад. Отношението на катетите в правоъгълен триъгълник е 5:6. Хипотенузата има дължина 122см. Намерете дължините на отсечките, на които се разделя хипотенузата от височината към нея.

3 зад. В правоъгълен триъгълник радиусът на вписаната окръжност е 3 см, а по-малкият катет е 10 см. Намерете радиуса на описаната окръжност.

[KOPMOPAH]

1 зад. Височината към хипотенузата на правоъгълен триъгълник я дели на части 4 см и 12 см. Намерете катетите и височината към хипотенузата.

Известно е, т.е. би трябвало да сте го учили в училище, че височината към хипотенузата $h_c$ е средногеометрично на отсечките, на които дели хипотенузата. Ако не сте го учили още - доказва се на $2$ реда с подобни триъгълници.
Ако петата на височината е $H$, $$\triangle AHC \approx \triangle BCH \Rightarrow AH:CH=CH:HB$$ $$CH^2=AH.HB \Rightarrow h_c=\sqrt{AH.BH}=4\sqrt 3$$
Пак от същите подобни триъгълници се извежда, че квадратът на катета е равен на произведението от дължината на проекцията му върху хипотенузата по дължината й, т.е. за $AC$ $$AC^2=AH.AB,$$ оставям ти възможността да заместиш и дорешиш задачата.

2 зад. Отношението на катетите в правоъгълен триъгълник е 5:6. Хипотенузата има дължина 122см. Намерете дължините на отсечките, на които се разделя хипотенузата от височината към нея.

Щом катетите се отнасят както $5:6$, значи единият е $5x$, а другият - $6x$. По Питагорова теорема $$(5x)^2+(6x)^2=122^2,$$ откъдето намираме $x=2\sqrt{61}$. Единият катет е $10\sqrt{61}$, другият - $12\sqrt{61}$.
Да отбележим проекцията на по-малкия катет върху хипотенузата с $y$, тогава $(10\sqrt{61})^2=y.122 ,$ откъдето $y=50$.
Другата отсечка е $122-50 = 72$