Задача

[Гост]

\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}Даден е равнобедрен триъгълник с основа 10 см и височина 12 см. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.
Основите на равнобедрен трапец са 6 см и 4 см, а бедрото му е 5 см. Намерете височината и диагонала на трапеца.
Основата на равнобедрен триъгълник е 4см а тангенсът на ъгъла при основата е [tex]\frac{5}{4}[/tex]. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

[KOPMOPAH]

Като не взимаме под внимание, че [tex]\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}[/tex] първата задача се решава така:
- Питагорова теорема за триъгълника, съставен от бедро, височина и половин основа - получава се бедро 13;
- намиране на лицето по основа и височина;
- изразяване на лицето чрез полупериметъра и радиуса на вписаната окръжност;
- намиране на радиуса чрез разделяне на вече полученото лице на полупериметъра.

[ева]

3 зад. [tex]\triangle[/tex]АВС-равнобедрен (АС=ВС),АВ=4 см.,tg([tex]\angle[/tex]CAB)=tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{5}{4}[/tex];K(O;R)-описана
R=?
[tex]\begin{array}{|l} \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{5}{4} \\ sin^{2} \alpha+cos^{2}\alpha=1\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} sin\alpha=\frac{5cos\alpha}{4} (1)\\ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1 \end{array}[/tex]

[tex]\frac{25cos^{2}\alpha}{16}[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=1 ...cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{\sqrt{41}}[/tex] [от (1) получаваме] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{5}{\sqrt{41}}[/tex]

(sin T) [tex]\frac{AB}{sin(180^\circ-2\alpha)}[/tex]=2R т.е. [tex]\frac{4}{sin2\alpha}[/tex]=2R ; R=[tex]\frac{2}{2sin\alpha.cos\alpha}[/tex]=[tex]\frac{1}{\frac{5.4}{\sqrt{41}.\sqrt{41}}}[/tex]=[tex]\frac{41}{20}[/tex]=2,05
отг. 2,05 см.

[Davids]

Принципно и аз съм голям фен на тригонометрията, но задачата е за девети клас, та да подходим подобаващо
Спускаме височината към основата $CH = h$ и от определението за тангенс на ъгъла при основата намираме $h = \frac{a}{2}.tg\alpha = \frac{5}{2}$
След това по Потагорва теорема за $\Delta AHC$ намираме бедрото:
$b = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = ... = \frac{\sqrt{41}}{2}$
По формулата основа по височината върху две намираме лицето на триъгълника:
$S = \frac{ah}{2} = 5$
И $R$ намираме респективно от формулата за лице с негово участие:
$S = \frac{ab^2}{4R}$
$\Rightarrow R = \frac{ab^2}{4S} = \frac{4.41}{4.4.5} = \frac{41}{20} = 2,05$

[Гост]

Принципно и аз съм голям фен на тригонометрията, но задачата е за девети клас, та да подходим подобаващо
Спускаме височината към основата $CH = h$ и от определението за тангенс на ъгъла при основата намираме $h = \frac{a}{2}.tg\alpha = \frac{5}{2}$
След това по Потагорва теорема за $\Delta AHC$ намираме бедрото:
$b = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = ... = \frac{\sqrt{41}}{2}$
По формулата основа по височината върху две намираме лицето на триъгълника:
$S = \frac{ah}{2} = 5$
И $R$ намираме респективно от формулата за лице с негово участие:
$S = \frac{ab^2}{4R}$
$\Rightarrow R = \frac{ab^2}{4S} = \frac{4.41}{4.4.5} = \frac{41}{20} = 2,05$

Не разбрах защо R = \frac{4.41}{4.4.5} . Нали лицето е 5см и умножаваме по 4, откъде идва втората 4?

[Davids]

От това, че $b^2 = \frac{41}{4}$