Спешно задачи

[Гост]

1 зад. Страните на триъгълника АВС имат дължини АВ = 14 см, ВС = 6 см, СА = 10 см. СМ и СN (М, N ∈
∈
AB) са съответно вътрешна и външната ъглополовяща на триъгълника при върха С. Намерете дължините на отсечките АМ, ВМ, AN, BN, MN.
2 зад. Триъгълник ABC (CA=CB) има периметър 36 см. Медицентърът на триъгълника лежи на вписаната в триъгълника окръжност. Намерете страните на триъгълника.
3 зад. Триъгълник ABC (CA=CB) има височина CD = 24 cm и АВ:АС = 2:5. Точка О е център на вписаната в триъгълника окръжност, а точка G е медицентър. Намерете дължината на отсечката GO.

[ева]

2 зад. т.G-медицентър,К(О;r)-вписана,СН е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС
АВ=? АС=ВС=?
Нека АВ=2а [tex]Р_{АВС }[/tex]=36 ; АВ+2АС=36 [tex]\Rightarrow[/tex] АС=[tex]\frac{36-2а}{2}[/tex] т.е. АС=18-а (1)
[tex]\triangle[/tex]АНС-правоъгълен [tex]СН^{2}[/tex]+[tex]АН^{2}[/tex]=[tex]АС^{2}[/tex] ( от Питагор) ;[tex]СН^{2}[/tex]+[tex]а^{2}[/tex]=[tex](18-а)^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] СН=6[tex]\sqrt{9-а}[/tex] (2)
т.G-медицентър [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{CG}{HG}[/tex]=[tex]\frac{2}{1}[/tex] ; [tex]\frac{CH-HG}{HG}[/tex]=[tex]\frac{2}{1}[/tex] (ползваме (2) ) [tex]\frac{6\sqrt{9-а}-2r}{2r}[/tex]=[tex]\frac{2}{1}[/tex]

3[tex]\sqrt{9-a}[/tex]-r=2r; 9(9-a)=9[tex]r^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\sqrt{9-a}[/tex] (3)
AO-ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АНС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ОС}{ОН}[/tex]=[tex]\frac{АС}{АН}[/tex] т.е. [tex]\frac{6\sqrt{9-a}-r}{r}[/tex]=[tex]\frac{18-a}{a}[/tex] (ползваме (3) )
[tex]\frac{5\sqrt{9-а}}{\sqrt{9-а}}[/tex]=[tex]\frac{18-a}{а}[/tex] ; 5а=18-а [tex]\Rightarrow[/tex] а=3 см. получаваме

АВ=2а=6 см. ; АС=ВС=18-а=15 см.