геометрична задача

[Гост]

Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на S, а радиусът на описаната около триъгълника окръжност е R. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

[Davids]

Ще изходим от формулата за стойността на $r = \frac{a + b - c}{2}$
Основно имаме две неща да съобразим:
1) $c = 2R$
2) $a + b = \sqrt{(a + b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab}$
Ключът тук са отново две преобразувания:
- $S = \frac{ab}{2} \Rightarrow ab = 2S$
- $a^2 + b^2 = c^2 = 4R^2$ (по Питагор)
И така: $a + b = \sqrt{4R^2 + 4S} = 2\sqrt{R^2 + S}$

Окончателно:
$r = \frac{2\sqrt{R^2 + S} - 2R}{2} = \sqrt{R^2 + S} - R$

[Гост]

Благодаря

[Гост]

Само, ако може да попитам това как става??
1) $c = 2R$
2) $a + b = \sqrt{(a + b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab}$

[Davids]

Само, ако може да попитам това как става??
1) $c = 2R$
2) $a + b = \sqrt{(a + b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab}$

За всеки правоъгълен триъгълник знаем, че центърът на описаната около него окръжност лежи на средата на хипотенузата му. Респективно самата хипотенуза е равна на диаметъра на тази окръжност. А второто уравнение какво не му е ясно? Изкуствено сме повдигнали на втора под корен, за да направим преобразуванията под корена след като извършим съкратеното умножение - квадрат на сбор. Ако може да конкретизираш какво не ти е ясно, ще помогнеш хем на себе си (евентуално разбирайки по-добре собствените си пропуски, възможно е да се сетиш и сам), хем на нас

[Гост]

Благодаря много.
P.S. Сетих се за второто просто не знаех как да си редактирам коментара