Може ли помощ със задача 226?

[Гост]

Може ли помощ със задача 226

[Knowledge Greedy]

Нека положим [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=u[/tex] и [tex]\sqrt{x}-\sqrt{y}=v[/tex]
Системата става
[tex]\left | \begin{matrix}
u\sqrt{uv} =3uv \\
(u^2+v^2)uv=82

\end{matrix}\right .[/tex]
защото явно [tex]x-y=uv[/tex]
и
[tex]\left | \begin{matrix}
x+2\sqrt{x}\sqrt{y}+y=u^2 \\
x-2\sqrt{x}\sqrt{y}+y=v^2
\end{matrix}\right .[/tex] откъдето [tex]x+y=\frac{u^2+v^2}{2}[/tex]

Сега вече, освен тривиалните случаи, когато едно от [tex]u[/tex] или [tex]v[/tex] е нула (или и двете!),
намираме бързо [tex]u=9v[/tex] - от първото уравнение.
То веднага води до [tex]y=\frac{16}{25}x[/tex]
След заместване във второто, получаваме [tex]\left | \begin{matrix}
x=\frac{25}{3} \\
y=\frac{16}{3}
\end{matrix}\right .[/tex]
Нуждаем се от проверка, защото това, което направихме бе само необходимо, може да са се появили някакви допълнителни решения.

[Davids]

[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{x(x - y)} + \sqrt{y(x - y)} = 3(x - y) \\ x^2 - y^2 = 41 \end{array}[/tex]

Взимаме първото уравнение и работим по него:
$\sqrt{x - y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 3(x - y)$

Единият корен веднага си проличава: $x = y$. Ще разделим на $\sqrt{x - y}$ с уговорката, че вече $x \ne y$.
Продължаваме:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3\sqrt{x - y} |^2$
ДС са $x \ge y \ge 0$
$x + y + 2\sqrt{xy} = 9x - 9y$
$2\sqrt{xy} = 8x - 10y$
$\sqrt{xy} = 4x - 5y |^2$
$xy = 16x^2 - 40xy + 25y^2$
$16x^2 - 40xy + 25y^2 = 0$
Полагаме $t = \frac{x}{y}$ и получаваме два корена: $t_1 = 1; t_2 = \frac{25}{16}$. Само вторият ни влиза в уговорката за този случай, но така или иначе ще разглеждаме двата случая:
I) $x = y$, което изведохме горе в началото. Тогава обаче второто уравнение в системата няма решение, следователно цялата система няма решение.
II) $\frac{x}{y} = \frac{25}{16}$
$\Rightarrow y = \frac{16}{25}x$

Заместваме във второто и получаваме:
$x^2 - \frac{16^2}{25^2}x^2 = 41$
$x^2 = \frac{41.5^4}{5^4 - 4^4} = \frac{41.5^4}{9.41} = \frac{5^4}{3^2}$
$\Rightarrow x = \frac{25}{3}$
$\Rightarrow y = \frac{16}{3}$

И това ти е единствената двойка решения.

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{x(x - y)} + \sqrt{y(x - y)} = 3(x - y) \\ x^2 - y^2 = 41 \end{array}[/tex]

Взимаме първото уравнение и работим по него:
$\sqrt{x - y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 3(x - y)$

Единият корен веднага си проличава: $x = y$. Ще разделим на $\sqrt{x - y}$ с уговорката, че вече $x \ne y$.
Продължаваме:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3\sqrt{x - y} |^2$
ДС са $x \ge y \ge 0$
$x + y + 2\sqrt{xy} = 9x - 9y$
$2\sqrt{xy} = 8x - 10y$
$\sqrt{xy} = 4x - 5y |^2$
$xy = 16x^2 - 40xy + 25y^2$
$16x^2 - 40xy + 25y^2$
Полагаме $t = \frac{x}{y}$ и получаваме два корена: $t_1 = 1; t_2 = \frac{25}{16}$. Само вторият ни влиза в уговорката за този случай, но така или иначе ще разглеждаме двата случая:
I) $x = y$, което изведохме горе в началото. Тогава обаче второто уравнение в системата няма решение, следователно цялата система няма решение.
II) $\frac{x}{y} = \frac{25}{16}$
$\Rightarrow y = \frac{16}{25}x$

Заместваме във второто и получаваме:
$x^2 - \frac{16^2}{25^2}x^2 = 41$
$x^2 = \frac{41.5^4}{5^4 - 4^4} = \frac{41.5^4}{9.41} = \frac{5^4}{3^2}$
$\Rightarrow x = \frac{25}{3}$
$\Rightarrow y = \frac{16}{3}$

И това ти е единствената двойка решения.

Как положихме?

[Davids]

Е това е класически начин за решаване на хомогенно уравнение, затова не съм го разписвал. Не сте ли го учили? Би трябвало да се учи в 9. клас. Щом дори при нас в Езиковата с непрофилираната математика беше така

[Гост]

Е това е класически начин за решаване на хомогенно уравнение, затова не съм го разписвал. Не сте ли го учили? Би трябвало да се учи в 9. клас. Щом дори при нас в Езиковата с непрофилираната математика беше така

Какво се получава като положим? Аз получих 16t^{2} -40t + 25 =0

[ева]

получих х=[tex]\frac{5\sqrt{41}}{3}[/tex] ;у=[tex]\frac{4\sqrt{41}}{3}[/tex]
Това ли е отг.,или в бързината съм сбъркала
Квадратното ур-е на Гост има 1 р-е t=[tex]\frac{5}{4}[/tex]

[Davids]

Е това е класически начин за решаване на хомогенно уравнение, затова не съм го разписвал. Не сте ли го учили? Би трябвало да се учи в 9. клас. Щом дори при нас в Езиковата с непрофилираната математика беше така

Какво се получава като положим? Аз получих 16t^{2} -40t + 25 =0

Уф, ами аз съм те подвел с това. $-41xy$ се получава, просто съм драснал нулата в бързината. Но като прехвърлиш от едната страна към другата, от $-40xy$, което се получава първоначално от формулата на квадрат (всъщност нали е $-2.4x.5y$), се получава $-41xy$.